Sympy求解二元非线性方程组长时间无响应问题咨询

• 工具定位不匹配：SymPy的solve()函数的设计目标是求解方程组的全量解析闭式解，而非数值近似解。你构造的方程组包含反正切、余弦、平方根三类超越项，属于不存在初等函数形式闭式解的超越方程组，SymPy会持续在符号化简、根分支枚举的逻辑中循环，永远无法走到正常终止的分支，和Atom、Colab的运行环境没有关系。
• 浮点数参数放大求解冗余：你代码中传入的角度值0.523599、2.0944是浮点近似值，SymPy在做符号运算时会尝试将浮点数转换为有理分数做精确推导，浮点精度带来的微小误差会生成大量无意义的化简分支，进一步拖慢运行速度，直接导致进程长时间无响应。
• 不存在“复杂度过高”的问题：这个方程组的数值求解复杂度极低，因此面向数值求根的scipy.fsolve可以极短时间返回结果，但对追求解析解的SymPy.solve()而言，不存在解析解的问题本身没有终止条件，卡进程是必然结果，和方程组数值计算的复杂度无关。

如果需要使用SymPy求解该问题，不要调用面向解析解的solve()，改用SymPy自带的数值求根接口nsolve()，同时做三个优化减少冗余计算：

1. 声明符号变量为实数域变量，缩小求解范围
2. 用精确的符号常量代替近似浮点数（比如sym.pi/6对应30度、2*sym.pi/3对应120度，和你写的浮点角度值完全等价）
3. 传入合理的迭代初始值（可以参考fsolve返回的根作为初值）

修改后的可运行代码如下：

import sympy as sym

x, y = sym.symbols('x,y', real=True)
dmin = 70  # actuator最小值
dmax = 140 # actuator最大值
l3 = 10
l4 = 10

Amin = sym.pi/6   # 对应原代码0.523599弧度即30度，用精确符号值
Amax = 2*sym.pi/3 # 对应原代码2.0944弧度即120度，用精确符号值

cos1 = sym.cos(Amin - sym.atan(l4/x) - sym.atan(l3/y))
cos2 = sym.cos(Amax - sym.atan(l4/x) - sym.atan(l3/y))

a2 = x**2 + l4**2
b2 = y**2 + l3**2

f = a2 + b2 - 2*sym.sqrt(a2)*sym.sqrt(b2)*cos1 - dmin**2
g = a2 + b2 - 2*sym.sqrt(a2)*sym.sqrt(b2)*cos2 - dmax**2

# 传入正实根初值(40,40)做数值迭代
print(sym.nsolve((f, g), (x, y), (40, 40)))

上述代码可以在秒级返回数值解，精度和scipy的fsolve结果一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Fadi EID