算法步数为6n³+4n-20时O(n³)的c和n0计算咨询

首先明确大O的核心定义：若算法执行步数函数f(n) = O(g(n))，则必须存在正的常数c、正整数n₀，使得对所有满足n ≥ n₀的输入规模，都成立0 ≤ f(n) ≤ c·g(n)。
注意两个核心约束：c必须是正数，n≥n₀时f(n)必须非负（算法执行步数不可能为负数）。

之前推导的问题 #

代数变形本身没有错误：

6n³+4n-20 ≤ c·n³
=> 6 + 4/n² - 20/n³ ≤ c

但选n₀=1得到c=-10是完全无效的，原因有两个：

1. n=1时f(1)=61+41-20=-10，执行步数为负，没有实际意义；
2. 得到的c是负数，违反了c必须为正常数的要求。

正确计算逻辑 #

大O表示法不需要找唯一的c和n₀，只要能找到任意一对满足定义的合法值即可，取值不需要最紧，方便验证就行，常规计算分两步：

1. 先选足够大的n₀，保证n≥n₀时f(n)恒为正，同时所有低阶正项都可以放大为最高次项的倍数，负项直接忽略（减去正数只会让f(n)更小，更满足≤的关系）。
2. 代入放大后的不等式，算出对应的常数c即可。

针对f(n)=6n³+4n-20的合理取值举例 #

取值1（计算最方便，最常用） #

选n₀=2，c=10，验证如下：

• 当n≥2时，n²≥4，因此4n ≤ 4n·n² =4n³
• 因为-20是负数，因此6n³+4n-20 ≤6n³+4n <6n³+4n³=10n³
• 同时n≥2时f(n)最小值为f(2)=68+42-20=36>0，完全满足0≤f(n)≤10n³的要求。

取值2（更紧的常数） #

选n₀=5，c=7，验证如下：

• 当n≥5时，4/n² ≤4/25=0.16，-20/n³ ≥-20/125=-0.16，因此6+4/n²-20/n³ ≤6+0.16=6.16 <7
• 代入原式即得6n³+4n-20 ≤7n³，同时n≥5时f(n)最小值为f(5)=6125+45-20=750>0，同样满足定义。

你甚至可以选n₀=10、c=6.1，只要能证明n≥n₀时不等式恒成立就可以，没有唯一标准答案。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sangram