如何正确计算两个四元数之间的旋转四元数？

我在学习四元数旋转相关知识时，写了两段代码实现「将沿X轴的单位向量旋转至Y轴」的功能，代码如下：

// 方法1
Eigen::Vector3f a(1,0,0), b(0,1,0);
Eigen::Quaternionf qr;
qr.setFromTwoVectors(a,b);

// 方法2
Eigen::Quaternionf q1(0,1,0,0), q2(0,0,1,0), qr_alt;

qr_alt = q1.inverse() * q2;    // 我以为q2 = q1 * delta_q，delta_q就是要找的旋转四元数

两种方法输出的四元数结果不一致：转成欧拉角后，qr_alt算出的偏航角是π弧度，而qr算出的π/2弧度偏航角才是正确结果。想知道计算两个四元数之间旋转量的正确方法是什么。

你的第二种方法从根上就错了，混淆了纯向量四元数和旋转四元数的概念，而且记错了四元数旋转向量的公式：

1. q1(0,1,0,0)、q2(0,0,1,0)只是分别对应X轴、Y轴单位向量的纯四元数，根本不是「把向量转到X轴/Y轴方向」的旋转四元数，直接对这两个值求逆相乘没有任何物理意义。
2. 四元数对向量做旋转的正确公式是「三明治结构」：如果用旋转四元数q旋转向量v（对应纯四元数v_q），旋转后的向量对应纯四元数为 v'_q = q * v_q * q.inverse()，你写的q2 = q1 * delta_q直接漏掉了右侧乘逆的项，公式本身不成立。
   你可以手动算下你写的qr_alt结果：q1是单位纯四元数，逆等于共轭即(0,-1,0,0)，和q2(0,0,1,0)做四元数乘法得到的是(0,0,0,-1)，对应绕Z轴旋转π，也就是你看到的偏航角180度的错误结果，和你要的90度旋转完全无关。

分两种场景对应不同计算方式：

• 场景1：已知两个向量，求把向量a转到向量b的旋转四元数
  直接用你写的第一种方法setFromTwoVectors(a,b)就行，这是Eigen官方实现的标准接口，会自动处理旋转轴、旋转角的计算，还能处理两个向量不共线、反向等边界情况，不需要自己手动造轮子。
  如果要手动实现，逻辑也很简单：

  1. 旋转轴取两个向量的叉乘，归一化：Eigen::Vector3f axis = a.cross(b).normalized();
  2. 旋转角取两个向量的夹角：float theta = std::acos(a.dot(b));
  3. 按四元数定义构造：Eigen::Quaternionf q(std::cos(theta/2), axis.x()*std::sin(theta/2), axis.y()*std::sin(theta/2), axis.z()*std::sin(theta/2));
     算出来的结果和接口返回值完全一致。

• 场景2：已知两个旋转四元数q_from、q_to（都是相对于同一个全局初始坐标系的旋转），求从q_from姿态转到q_to姿态的增量旋转delta_q
  从三明治公式推导可得正确计算式为：

  // 注意Eigen的四元数乘法顺序是「右乘先应用」，如果用其他3D库要先确认库的乘法约定，部分库顺序相反
  Eigen::Quaternionf delta_q = q_to * q_from.inverse();
  

  验证逻辑：对q_from坐标系下的任意向量v，先做q_from旋转转到全局系，再做delta_q旋转，最终结果和直接做q_to旋转完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Simit Pradhan