浮点运算下满足1/i == 1/(i+1)的最小正整数i及原理

你找到的i = 6369051721119404就是引发该排序失效的最小正整数。

Python默认的float类型遵循IEEE 754双精度浮点数标准，由1位符号位、11位指数位、52位尾数位组成，因尾数隐含最高位的常量1，实际有效精度为53位二进制，对应15~17位十进制有效数字。

• 对落在区间[2^e, 2^(e+1))内的浮点数，相邻两个可精确表示的浮点数的绝对间隔为2^(e-52)，数值越小，间隔越小，表示精度越高。
• 连续正整数i和i+1的倒数差值为1/i - 1/(i+1) = 1/(i*(i+1))，当这个差值小于倒数所在区间的浮点数舍入阈值时，两个倒数会被舍入为同一个浮点数，作为排序键时无法区分大小，直接导致逆序排序失效。

你观察到临界值接近2^52.5的规律完全符合浮点数精度特性：
当i = 2^52.5时，1/i = 2^-52.5，落在浮点数区间[2^-53, 2^-52)范围内，该区间的浮点数间隔为2^(-53-52) = 2^-105 ≈ 7.89e-32；此时1/(i*(i+1)) ≈ 1/i² = 1/2^105，刚好和浮点数间隔处于同一量级，达到了舍入后相等的临界条件。
受浮点数就近舍入、等值时取偶数尾数值的规则影响，第一个满足“两数倒数舍入后相等”的正整数就是你找到的6369051721119404，比理论近似值2^52.5略大，和你运行math.log2(i)得到的52.50000001100726结果完全吻合。

执行以下排序代码时，两个元素的排序键完全相等，排序后不会交换位置，无法得到预期的逆序结果：

import math
i = 6369051721119404
print(1/i == 1/(i+1))
# 输出：True
print(math.log2(i))
# 输出：52.50000001100726

print(sorted([i, i+1], key=lambda x: 1/x))
# 输出：[6369051721119404, 6369051721119405]，未按预期逆序

实际开发中做逆序排序直接使用-i作为键即可，Python的int类型支持任意精度，不会出现这类精度问题，不要用1/i的取巧写法处理大整数排序场景。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Kelly Bundy