含缺失值的二进制权重线性优化（最大化调整R²）求解方法

这个问题本质是适配前置缺失值的0-1整数特征选择问题，目标是筛选原始数据列组合，让构造出的滞后回归模型调整R²最大，完全没必要用Excel规划求解，按下面的思路实现，效率能提升几个数量级。 #

核心问题简化 #

首先先把冗余计算砍掉：

1. 你的缺失值都集中在每列前若干行，不需要每次计算都全矩阵判断NaN，提前预计算每列的第一个非缺失值行号、对应非缺失值片段即可，单轮目标计算速度能提10倍以上。
2. 调整R²和普通R²在这个场景下完全单调等价：回归的样本量固定为28（y从第3行开始共28个观测），自变量个数固定为3（xt当期、滞后1期、滞后2期加截距），最大化调整R²等价于最小化回归残差平方和SSE，不需要每次调用fitlm算全套统计量，直接用矩阵左除做最小二乘即可，单轮计算速度比fitlm快几十倍。

调整R²公式验证：
$$ R^2_{adj} = 1 - \frac{(1-R^2)(n-1)}{n-p-1} $$
n=28、p=3固定时，R²越大调整R²必然越大，完全不需要额外计算调整项。 #

基础预计算代码 #

rng('default')
% 复现测试数据
data = randi([-1000 1000],30,500);
yt = randi([-1000 1000],30,1);
miss_row = randi([1 15],1,500);
miss_col_flag = rand(1,500) < .5;
for i = 1:500
    if miss_col_flag(i) == 1
        data(1:miss_row(i),i) = nan;
    end
end

% 预计算每列有效信息
start_row = zeros(1,500);
col_valid_vals = cell(1,500);
for i = 1:500
    first_valid = find(~isnan(data(:,i)),1,'first');
    % 标记有效起始行晚于28的无效列，这些列永远进不了回归样本
    if first_valid <=28
        start_row(i) = first_valid;
        col_valid_vals{i} = data(first_valid:end,i);
    else
        start_row(i) = 31;
    end
end
y = yt(3:end);

快速目标函数 #

写一个输入二进制权重、输出SSE的函数，全程不用任何高级统计函数：

function sse = calc_obj(wgts, start_row, col_valid_vals, yt)
    xt = zeros(30,1);
    selected = find(wgts == 1);
    for i = selected
        sr = start_row(i);
        if sr > 30
            continue
        end
        xt(sr:end) = xt(sr:end) + col_valid_vals{i};
    end
    % 构造回归矩阵，带截距项
    X = [xt(3:end), xt(2:end-1), xt(1:end-2), ones(28,1)];
    % 最小二乘求解，比fitlm快两个数量级
    coef = X\yt(3:end);
    res = yt(3:end) - X*coef;
    sse = sum(res.^2);
end

求解方案选择 #

根据你对解的精度要求选对应方案，都比Excel求解器快得多：

• 快速求近优解（推荐，秒级出结果）：用序列前向选择+局部交换优化

1. 初始权重全为0，每次迭代遍历所有未选入的列，选能让SSE下降最多的列加入，直到达到你设定的选入列数约束（比如sum(wgts)=k）或者没有列能让SSE下降为止。
2. 做局部迭代优化：每次尝试将一个已选入列和一个未选入列交换，如果交换后SSE更低就保留交换，直到不存在能降低SSE的交换对为止。
   这个方法在特征选择场景下的解质量非常接近全局最优，500列的规模跑一次只需要几秒。

• 求高质量近优解（分钟级）：如果装了MATLAB全局优化工具箱，直接把目标函数、0-1变量边界、可选的列数等式约束传给ga遗传算法求解器，种群规模设200，迭代80-100代即可，解的质量比序列选择更高。
• 求精确全局最优解：用定制分支定界法，针对0-1变量做剪枝——因为SSE随选入列的变化有明确的下界，每一步选入列后都可以剪掉不可能优于当前最优解的分支，你这个样本量只有28的场景，十几分钟就能跑出全局精确解，远高于Excel求解器200变量的上限。

额外优化技巧 #

• 可以提前预计算每一列单独生成的xt向量，计算列组合的xt时直接把对应列的xt向量相加即可，能把单轮目标计算压到微秒级。
• 如果加了选入列数约束，可以在序列选择阶段直接选到对应列数就停止，不用遍历所有列。
• 提前过滤掉和y相关性极低的列，减少决策变量规模，进一步提速。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Barbab