MATLAB计算besselj贝塞尔函数定积分结果不符的原因及解决方法

问题描述 #

使用MATLAB符号计算工具求解贝塞尔函数相关定积分时，输出结果与个人预期不符，用到的计算代码如下：

syms x a
int(besselj(1,a*x)*x^2,0,1)

代码运行后MATLAB返回的结果为：

(2*besselj(1, a))/a^2 - besselj(0, a)/a

个人预期的正确结果为(- besselj(0, a)/a)，需要明确偏差出现的原因，以及得到正确积分结果的操作方式。

偏差原因 #

• 结果偏差来自于预期结果错误，MATLAB返回的积分结果在数学上完全正确，不存在计算错误。
• 预期结果漏算了分部积分的边界项：对被积函数做分部积分推导时，错误将上下限代入后的边界值判定为0，才得到了缺项的错误结果。
• 可以通过基本性质快速验证预期结果的矛盾：当a为正实数时，被积函数besselj(1,a*x)*x^2在积分区间[0,1]上取值恒为非负，定积分结果必然为非负值；但预期结果-besselj(0,a)/a在a取较小正实数时为负值，和定积分的基本性质直接矛盾，显然不成立。

正确操作方法 #

• 无需调整现有积分代码，直接使用MATLAB返回的(2*besselj(1, a))/a^2 - besselj(0, a)/a作为该定积分的解析结果即可。
• 如果需要确认结果正确性，可通过两种方式交叉校验：
  • 代入具体的a取值，用数值积分函数integral做数值计算，对比数值结果和解析表达式的计算值，二者会完全匹配
  • 对MATLAB返回的解析结果关于x求导，经过贝塞尔函数递推公式化简后，会和原被积函数完全一致

内容的提问来源于stack exchange，提问作者maryem Mery