高维最大和子矩阵的O(n^(2d-1))时间求解算法咨询

完全可以实现时间复杂度为O(n^(2d-1))的d维最大和子矩阵求解算法，该算法本质是二维场景下基于Kadane的最大子矩阵解法的高维递归推广，和二维场景的复杂度规律完全自洽。

整个算法的逻辑可以从低维场景往高维递推理解：

• 基例（1维场景）：也就是经典的最大子数组问题，直接用Kadane算法求解，时间复杂度为O(n)，刚好符合n^(2*1 -1) = n^1的复杂度规律。
• 递推逻辑（k维场景推广到k+1维）：对于k+1维矩阵，我们枚举其中第一个维度的所有左右边界组合，将两个边界范围内的元素沿着剩余k个维度做投影求和，把原k+1维矩阵压缩为k维矩阵，再调用k维最大和子矩阵算法求解压缩后矩阵的最大和，所有枚举情况得到的最大值就是全局最优解。
• 复杂度验证：按照递推逻辑，k维场景的时间复杂度满足递推式T(k) = O(n^2) * T(k-1)，结合基例T(1)=O(n)，展开后可得T(d) = O(n^(2*(d-1)) * n) = O(n^(2d-1))，和目标复杂度完全匹配。

• 建议预计算d维前缀和数组，固定边界后可以在O(1)时间取到对应范围的投影和，避免重复遍历元素求和带来的额外开销，保证复杂度不退化。
• 实际编码时可以优先选择长度更短的维度作为枚举边界的维度，能够在不改变最坏复杂度的前提下，大幅降低平均运行时间。
• 如果输入的d维矩阵各维度长度不相等，只需要把对应维度的实际长度代入复杂度公式计算即可，整体的复杂度指数规律依然成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Louis parker