图像处理中d²f/dxdy二阶混合偏导的梯度计算方法

你给出的x、y方向一阶梯度是像素步长为1时的无归一化中心差分近似（标准数学定义下中心差分需除以步长2，工程实现中常省略该常数系数，不影响梯度相对响应）。二阶混合偏导的离散计算逻辑非常直接：对一阶梯度结果再做一次正交方向的差分即可，离散场景下求导顺序不会影响最终结果。

具体计算步骤 #

• 先按你定义的差分规则计算x方向一阶梯度图g_x：

  g_x(x,y) = f(x-1, y) - f(x+1, y)
  

• 对得到的g_x梯度图，沿y方向套用同样的中心差分规则计算梯度，输出就是二阶混合偏导结果：

  d²f/dxdy(x,y) = g_x(x, y-1) - g_x(x, y+1)
  

把两式联立展开，就能得到直接基于原始像素值计算的表达式：

d²f/dxdy(x,y) = f(x-1,y-1) - f(x+1,y-1) - f(x-1,y+1) + f(x+1,y+1)

卷积实现形式 #

上述计算等价于用如下3×3卷积核逐像素滑窗遍历原图，和卷积的常规实现逻辑完全一致：

[ 1  0 -1
  0  0  0
 -1  0  1]

（坐标约定：核的行对应y方向，从上到下y值增大；列对应x方向，从左到右x值增大，和常规图像处理的坐标规则对齐）

实现注意事项 #

• 如果调换求导顺序，先算y方向一阶梯度再算x方向差分，最终展开得到的卷积核和上述结果完全一致，不会出现数值差异
• 如果需要严格匹配数学上的差分定义，最终二阶结果需要除以4（两次中心差分各带1/2的归一化系数，乘积为1/4）。但在边缘检测、特征提取等绝大多数图像处理场景中，常数系数不会改变响应的相对大小，通常会省略除法减少计算量
• 计算图像边界点时，邻域像素会超出图像范围，需要提前做填充处理，可选0填充、边缘复制、反射填充等方案，保持和你其他梯度计算的填充规则一致即可

内容的提问来源于stack exchange，提问作者YeongHwa Jin