如何将匹配滤波输出信号归一化至与输入信号相同电平

预期实现目标 #

假设已获取图中所示的输入信号（原始数据），需要将其传入匹配滤波器，理想输出效果如图中滤波后数据所示：滤波后数据与原始数据处于同一电平量级。

实际实现情况 #

目前采用scipy.signal.lfilter()实现匹配滤波，核心实现代码如下：

# 模板函数
def template(t, a=1, tau=0.02, c=0, t0=0):
    return a * np.exp(-(t - t0) / tau) + c

# 生成模板信号
t = np.arange(0, 0.05, 1e-4)
signal = template(t)

# 匹配滤波处理
# raw_without_dc：原始数据去除直流分量后的结果，实现方式为减去原始数据均值
mf = sp.lfilter(signal[::-1], 1, raw_without_dc)**2 

# 绘制滤波结果
fig = plt.figure(figsize=(12, 5))
plt.plot(times/1e6, raw_data, alpha=0.5, label='原始数据')
plt.plot(times[:-500]/1e6, mf[500:], color='r',label='滤波后数据')
plt.xlim(0,60)
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.legend()

代码运行后绘制的原始数据、滤波数据效果分别见对应配图：

待解决问题 #

是否存在规范通用的正式方法，可将匹配滤波后的输出信号归一化至与输入信号相同的电平量级？

解决方案 #

匹配滤波输出量级和输入不对齐，核心原因有两点：一是模板未做能量归一化，二是代码中额外增加的平方操作改变了量纲。规范的归一化处理流程如下：

1. 对匹配模板做单位能量归一化
   匹配滤波器的冲激响应是时间反转的模板信号，要保证和模板完全匹配、幅值为A的输入信号经过滤波后峰值等于A，必须先将模板的L2能量归一化到1：

signal = template(t)
# 单位能量归一化
signal = signal / np.linalg.norm(signal)

2. 修正平方操作带来的量纲偏移
   代码末尾的**2属于包络提取步骤，会把原始的电压/幅值量纲转换为功率量纲，直接放大会导致量级不匹配，根据需求选择处理方式：

• 如果需要线性幅值输出：直接去掉平方操作，用归一化模板做滤波即可，输出峰值会直接对齐输入信号的幅值量级
• 如果需要包络输出：实信号可以对滤波结果取绝对值，复信号取模值即可得到和输入同量纲的包络；如果必须保留平方包络的形式，需要先做一次标定：输入一段和目标信号形状一致、幅值与原始数据典型目标幅值相等的标定信号，记录其经过滤波、平方后的峰值作为归一化因子，实际处理时将滤波平方后的结果除以该因子，再乘以标定信号的峰值，即可对齐量级。

注意代码中对滤波结果做500点切片的操作是正确的——lfilter是因果滤波，输出峰值会延迟一个模板长度的位置（当前模板长度刚好是500点），该操作不会引入幅值误差。

修正后的核心滤波代码参考：

# 生成并归一化模板
t = np.arange(0, 0.05, 1e-4)
signal = template(t)
signal = signal / np.linalg.norm(signal)

# 线性输出（直接对齐输入量级）
mf_linear = sp.lfilter(signal[::-1], 1, raw_without_dc)
# 包络输出（同量级）
mf_envelope = np.abs(mf_linear)

# 若要使用平方包络，先做标定
# cal_amp = 1 # 替换为原始数据中目标信号的典型幅值
# cal_signal = template(t, a=cal_amp) # 生成同形状等幅值的标定信号
# cal_output = sp.lfilter(signal[::-1], 1, cal_signal)
# cal_peak = np.max(cal_output**2)
# mf_sq_envelope = np.sqrt( (mf_linear**2) / cal_peak * cal_amp**2 )

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Inm