关于《Grokking Algorithms》8.2题贪心策略的最优解疑问

问题本质：这是0-1背包问题 #

首先明确，这道题属于不可拆分的0-1背包问题——7天是背包总容量，每个游览项目是要么全做、要么不做的物品，目标是最大化总价值（意愿分值）。贪心算法在这类问题里没有普适的最优策略，不管是优先选最高分、最短耗时还是最长耗时，都只在特定场景下有效，无法保证所有情况都得到最优解。

为什么作者说“优先选最高分”得不到最优解？ #

举个简单反例就能直观理解：
假设总时间7天，有三个项目：

• 项目A：分值10，耗时6天
• 项目B：分值9，耗时3天
• 项目C：分值9，耗时3天

按“优先选最高分”的策略，会先选项目A，剩余1天无法安排其他项目，总得分10。但如果选项目B+C，总耗时6天，剩余1天，总得分18——明显比选A的结果好。这就直接证明了优先最高分的贪心策略会失效。

优先短耗时 vs 优先长耗时，哪个更合理？ #

没有绝对的“更合理”，完全取决于具体的项目组合：

优先短耗时更优的场景 #

总时间7天：

• 项目X：分值5，耗时1天（共5个）
• 项目Y：分值20，耗时6天

优先选短耗时的X，5个项目总耗时5天，总得分25；如果选Y，得分只有20。这时候短耗时策略更优。

优先长耗时更优的场景 #

总时间7天：

• 项目P：分值15，耗时7天
• 项目Q：分值7，耗时3天（共2个）

选项目P的话，总得分15；如果选两个Q，总耗时6天，得分14，比15低。这时候优先长耗时的策略反而能得到更优结果。

再举个极端场景：
总时间7天：

• 项目M：分值14，耗时7天
• 项目N：分值8，耗时4天
• 项目O：分值8，耗时4天

选M的话得分14；而N和O加起来耗时8天超了，只能选一个，得分8。这种情况下优先长耗时的选择显然更好。

结论 #

0-1背包问题中，所有贪心策略（包括选最高分、最短/最长耗时）都是“启发式”的，只能在部分场景下得到最优解，无法覆盖所有情况。如果要确保得到真正的最优解，必须使用动态规划算法，而不是贪心。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Chandler Bong