秩亏矩阵QR分解：Julia中对角元零判定公式的求解

在数值计算中，判定QR分解后R矩阵的对角元是否可视为零，核心采用相对阈值准则，而非固定绝对数值——因为绝对阈值会被矩阵的尺度大小干扰，相对准则更具通用性。具体判定公式与逻辑如下：

1. 对目标矩阵执行QR分解，得到上三角矩阵R，提取其对角元集合{r₁₁, r₂₂, ..., rₙₙ}（Julia中默认输出的R矩阵对角元是降序排列的）。
2. 计算R矩阵对角元中的最大值：r_max = maximum(abs.(diag(R)))
3. 计算判定阈值，公式为：

   threshold = n * eps(T) * r_max
   

   其中：
   • n是矩阵的维度（若为m×n矩阵，取较大的维度值）
   • eps(T)是当前计算所用浮点数类型T的机器精度（比如Float64的eps()约为2.22e-16，Float32约为1.19e-7）
   • r_max是R矩阵对角元的最大绝对值
4. 遍历R的每个对角元r_ii，若abs(r_ii) < threshold，则认为该对角元在数值意义上等价于0，对应矩阵存在线性相关的列/行，可判定为秩亏矩阵。

补充说明：

• 乘以维度n是为了抵消数值计算过程中累积的误差，这是数值线性代数领域的通用经验修正。
• 若问题对精度要求更宽松或严格，可调整阈值的系数，比如用sqrt(n)*eps(T)或10n*eps(T)，但n*eps(T)是最常用的保守性阈值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者James Rider