glTF三次样条曲线中内外切线的视觉含义及贝塞尔控制点构建方法

glTF中的关键帧动画支持“三次样条”插值，其规范描述如下（已添加重点标记）：

定义：
n为关键帧总数，n>0；
t_k为第k个关键帧的时间戳，k ∈ [1,n]；
v_k为第k个关键帧的动画属性值；
t_c为当前（请求的）时间戳，满足t_k<t_c<t_k+1；
*t_d = t_k+1 − t_k*为插值段的时长
*t = (t_c − t_k) / t_d*为归一化后的插值因子。

动画采样器中存储的每个时间戳都对应三个关键帧值：
内切线、属性值和外切线。

设a_k、v_k、b_k分别为第k帧的内切线、属性值和外切线。

时间戳*t_c处的插值采样值v_t*计算方式如下：

v_t = (2t³ − 3t² + 1) × v_k + t_d(t³−2t²+t) × b_k + (−2t³+3t²) × v_k+1 + t_d(t³−t²) × a_k+1

传统二维三次贝塞尔曲线中，每个顶点和切线都有二维坐标。

但glTF规范将内、外切线与它们之间的顶点关联到同一时间戳。在传统曲线中，这会对应图中的垂直段，显然不合理——因为关键帧图是时间-值关系，垂直线段意味着同一时间对应多个值，存在歧义。

我的问题是：这些切线值在传统三次贝塞尔样条中代表什么？或者更明确地说：

给定每个关键帧的切线值，如何构建贝塞尔曲线的控制点，以准确呈现上述公式生成的时间-值曲线？

更新：我制作了Desmos图表来执行上述计算并测试曲线。我发现切线值似乎不代表实际目标值，而是作为关键帧值的偏移量：

• 曲线从*v_k出发，向v_k + b_k*方向延伸
• 曲线终止于v_k+1，途中向*v_k+1 - a_k+1*方向延伸

通过实验绘制匹配Desmos曲线的贝塞尔曲线，发现控制点的时间值应始终为t=1/3和t=2/3（与相关问题的回答猜测一致）。

我仍在寻找包含t_d的公式，但已有进展：当t_d = 3时，控制点似乎恰好位于*(0.333, v_k + b_k)和(0.666, v_k+1 - a_k+1)*，但这可能只是实验中的巧合。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Phrogz