如何在Julia中用线性回归插值法估算未知系数k与l

问题描述 #

已知指数函数形式为 y = k·e^(l·x)，其中k、l为未知系数，需通过以下数据表估算其值：

• x=-2.0，y=1.719334581463762
• x=-1.0，y=1.900158577875515
• x=0.0，y=2.1
• x=1.0，y=2.3208589279588603
• x=2.0，y=2.5649457921363568

已完成数学推导：对函数两边取自然对数，得到线性形式 ln(y) = ln(k) + l·x，可基于变换后的数据应用线性回归。现有如下LinearRegression函数：

using DataFrames, GLM

function LinearRegression(X)
    x = X[:,1]
    y = X[:,2]
    data = DataFrame(y = y, x = x)
    reg = lm(@formula(y ~ x), data)
    return coef(reg)[2], coef(reg)[1]
end

计算步骤 #

1. 构造对数变换数据集：保持原始x值不变，将每个y值替换为ln(y)（自然对数）。
2. 调用线性回归函数：将变换后的数据集传入LinearRegression函数，返回的第一个值是线性模型的斜率，即l；第二个值是截距，即ln(k)。
3. 计算k值：对截距结果取自然指数exp(截距)，得到k。

完整代码示例 #

using DataFrames, GLM

# 原始数据集
original_data = [
    -2.0  1.719334581463762
    -1.0  1.900158577875515
     0.0  2.1
     1.0  2.3208589279588603
     2.0  2.5649457921363568
]

# 对数变换：x不变，y取自然对数
transformed_data = hcat(original_data[:,1], log.(original_data[:,2]))

# 定义线性回归函数
function LinearRegression(X)
    x = X[:,1]
    y = X[:,2]
    data = DataFrame(y = y, x = x)
    reg = lm(@formula(y ~ x), data)
    return coef(reg)[2], coef(reg)[1]
end

# 计算l和ln(k)
l, ln_k = LinearRegression(transformed_data)

# 计算k
k = exp(ln_k)

# 输出结果
println("估算得到的l值：", l)
println("估算得到的k值：", k)

结果说明 #

运行代码后会得到精确计算值：

• l≈0.1（与数据的指数增长趋势匹配）
• k≈2.1（与x=0时y=k的理论值一致，符合原始数据）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Satyaban Sahoo