关于Haskell polynomial-algebra库的使用示例及符号系数支持问询

1. 构造多元多项式 #

先导入库的核心模块，通过定义变量、组合项来构造多元多项式，基础示例如下：

import Math.Algebra.Polynomial.Multivariate (Polynomial, var, constant, (^), (+), (*))
import qualified Math.Algebra.Polynomial.Multivariate as MP

-- 定义系数为整数的多元多项式变量x1、x2
x1 :: Polynomial Integer String
x1 = MP.var "x1"

x2 :: Polynomial Integer String
x2 = MP.var "x2"

-- 构造多项式：x1² + x1*x2 + 5
poly1 :: Polynomial Integer String
poly1 = x1^2 + x1*x2 + MP.constant 5

2. 多项式加法与乘法 #

基于已定义的多项式，直接使用库提供的标准运算符即可完成加法、乘法运算：

-- 构造第二个多项式：3*x1 + 2*x2²
poly2 :: Polynomial Integer String
poly2 = MP.constant 3 * x1 + MP.constant 2 * x2^2

-- 加法运算：poly1 + poly2
polySum :: Polynomial Integer String
polySum = poly1 + poly2
-- 结果等价于：x1² + x1*x2 + 3*x1 + 2*x2² + 5

-- 乘法运算：poly1 * poly2
polyProduct :: Polynomial Integer String
polyProduct = poly1 * poly2
-- 展开后等价于：3*x1³ + 2*x1²*x2² + 3*x1²*x2 + 2*x1*x2³ + 15*x1 + 10*x2²

3. 符号系数支持情况 #

polynomial-algebra库支持将系数设为任意环/域类型，包括你需要的符号系数多项式（系数属于Z(a)或Q(a)），通过嵌套多项式环即可实现：

-- 定义系数环：Z[a]（以a为变量的一元多项式，系数为整数）
type CoeffRing = Polynomial Integer String
a :: CoeffRing
a = MP.var "a"

-- 定义多元多项式，系数取自Z[a]
type PolyOverZ_a = Polynomial CoeffRing String
x1' :: PolyOverZ_a
x1' = MP.var "x1"
x2' :: PolyOverZ_a
x2' = MP.var "x2"

-- 构造目标多项式：(1+a)*x1² + x1*x2 + a
targetPoly :: PolyOverZ_a
targetPoly = (MP.constant 1 + a) * x1'^2 + x1'*x2' + MP.constant a

如果需要系数属于Q(a)（有理数域上的符号多项式），只需将系数环的基底类型从Integer替换为Rational：

type CoeffRingQ = Polynomial Rational String

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Stéphane Laurent