为何多元正态概率密度函数值会大于1？

你混淆了一个核心概念：概率密度函数（PDF）≠概率。

• 概率是对区间积分后的结果，范围确实在0到1之间，但PDF是概率的「密度」，它的取值可以大于1，只要整个定义域上的积分等于1就行。
• 你的协方差矩阵显示x维度的方差极小（0.0036），数据在x方向高度集中，就像把一堆概率「压缩」在很小的区间里，密度自然会飙升。比如一维正态分布N(0, 0.1²)的峰值就接近4，远大于1。
• 直接计算你的峰值验证：协方差矩阵的行列式≈0.000178，二维PDF在均值处的计算式是1 / sqrt((2π)^2 * |Σ|)，代入后得到≈1/0.0838≈11.93，和你得到的z.max()≈12完全匹配，这就是数值超1的直接原因。

你的代码：

mean = [0.1907431606674439, 10.776990818051406]
covariance = [[0.003633465420060508, -0.0007978346053959698],
              [-0.0007978346053959698, 0.049307867383681425]]

x, y = np.mgrid[0.05:0.35:.01, 10:11.5:.01]
pos = np.dstack((x, y))
z = multivariate_normal.pdf(pos, mean, covariance)


plt.figure()
plt.contourf(x, y, z)
plt.show()

内容的提问来源于stack exchange，提问作者8Simon8