如何基于标准差水平绘制多元正态分布的等高线？

核心思路 #

EllipticEnvelope输出的稳健均值和协方差，对应多元正态分布的参数。要绘制1σ、2σ、3σ这类标准差水平的等高线，核心是利用马氏距离平方服从卡方分布的特性：对于d维数据，马氏距离平方$\chi^2 \sim \chi^2(d)$，不同标准差对应的置信水平（1σ→68.27%，2σ→95.45%，3σ→99.73%）对应卡方分布的分位数，以此作为contour的levels参数。

完整代码示例 #

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.covariance import EllipticEnvelope
from scipy.stats import chi2
from scipy.spatial.distance import cdist

# 替换为你的真实数据集
np.random.seed(42)
n_samples = 200
X = np.random.multivariate_normal(mean=[2, 3], cov=[[1, 0.5], [0.5, 2]], size=n_samples)
X[::20] = np.random.uniform(low=-1, high=6, size=(10, 2))  # 模拟异常值

# 拟合EllipticEnvelope获取稳健均值和协方差
ee = EllipticEnvelope(contamination=0.05)  # 根据异常值比例调整
ee.fit(X)
mean_robust = ee.location_
cov_robust = ee.covariance_
inv_cov = np.linalg.inv(cov_robust)

# 生成绘图网格
x_min, x_max = X[:, 0].min()-1, X[:, 0].max()+1
y_min, y_max = X[:, 1].min()-1, X[:, 1].max()+1
xx, yy = np.meshgrid(np.linspace(x_min, x_max, 100), np.linspace(y_min, y_max, 100))
grid_points = np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()]

# 计算马氏距离平方（高效版）
mahalanobis_sq = cdist(grid_points, [mean_robust], metric='mahalanobis', VI=inv_cov)[:, 0] ** 2
mahalanobis_sq = mahalanobis_sq.reshape(xx.shape)

# 设定不同σ对应的levels
df = X.shape[1]  # 特征维度
confidence_levels = [0.6827, 0.9545, 0.9973]  # 对应1σ、2σ、3σ
levels = chi2.ppf(confidence_levels, df=df)

# 绘图
plt.figure(figsize=(8, 6))
contour = plt.contour(xx, yy, mahalanobis_sq, levels=levels, colors=['#1f77b4', '#ff7f0e', '#d62728'], linewidths=1.5)
plt.clabel(contour, inline=True, fontsize=10, fmt={l: f'{int(np.sqrt(l))}σ' for l in levels})
plt.scatter(X[:,0], X[:,1], c='gray', alpha=0.6, label='原始数据')
plt.scatter(mean_robust[0], mean_robust[1], c='black', marker='x', s=100, label='稳健均值')

plt.xlabel('特征1')
plt.ylabel('特征2')
plt.title('稳健多元正态等高线（1σ/2σ/3σ）')
plt.legend()
plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()

关键细节说明 #

• EllipticEnvelope参数：contamination需匹配数据中异常值的大致比例，默认0.1，设置合理才能得到准确的稳健估计。
• 马氏距离计算：用scipy.spatial.distance.cdist比循环更高效，适合大数据集。
• levels对应关系：如果需要自定义σ水平，只需调整confidence_levels——比如要画1.5σ，先查对应置信水平（约86.64%），再传入chi2.ppf计算分位数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者8Simon8