是否存在可精确表示90度旋转且保留双重覆盖性的四元数计算机表示方法？

用单位四元数在计算机中表示3D旋转，相比3×3正交矩阵有不少优势，但它存在一个明显缺憾：无法精确表示轴对齐的90度旋转。比如绕z轴将+x轴转到+y轴的90度旋转，对应的四元数表示为[w=√(1/2), x=0, y=0, z=√(1/2)]，这种浮点表示会带来一系列问题：

• 用该四元数对向量v做旋转，无法实现精确的90度旋转
• 连续四次应用该旋转后，无法精确还原到原向量v
• 将该四元数平方，得不到对应轴180度旋转的精确表示；八次方也无法得到单位四元数

因此在需要轴对齐90度旋转及其组合精确无浮点误差的场景中，有时不得不改用3×3矩阵，但矩阵表示也并非理想选择：它会丢失四元数特有的双重覆盖特性（即四元数可区分单位元和360度旋转，而3×3旋转矩阵做不到），同时也不具备四元数无需重新正交化的优良数值特性。

核心问题：是否存在一种单位四元数的计算机表示方法，既能避免上述不精确问题，又能保留双重覆盖特性？

以下是几种尝试的方案：

方案一：扩展浮点数表示四元数元素 #

将四元数的四个元素各表示为一对机器可表示的浮点数[a, b]，即元素值为a + b√2，这样一个四元数需要用8个浮点数存储。

该方案能解决精确性问题，但开销极大：计算长序列四元数乘积时，原四元数乘法中的每个运算都会转化为更多浮点运算；对于非这类“理想”旋转的场景，额外的计算和存储完全是冗余的。

方案二：存储元素的符号与平方值 #

将四元数q = w + xi + yj + zk表示为四元组[sign(w)*w², sign(x)*x², sign(y)*y², sign(z)*z²]。

这种表示简洁，且对目标子群（轴对齐90度旋转及其组合）具备无损耗特性，但无法在该表示下直接实现四元数乘法。

方案三：存储q²而非q #

起初看似可行，但同样无法在该表示下实现无损耗乘法，而且会直接丢失双重覆盖特性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Don Hatch