能否通过两个单点构造X_monotone_curve_2？如何计算有理支撑线？

1. 能否仅通过源点和目标点构造X_monotone_curve_2？ #

可以。你提到的第二种构造函数X_monotone_curve_2(const typename Kernel::Point_2 &source, const typename Kernel::Point_2 &target)是完全合法且可用的，它会自动基于传入的两个点生成对应的X单调曲线。

2. 如何计算对应的有理支撑线？ #

当使用两点构造函数时，CGAL内部会自动通过这两个点构造出一条Kernel::Line_2作为支撑线——因为两点唯一确定一条直线，且如果传入的源点和目标点是Kernel定义的有理点（比如使用精确构造核时的有理坐标点），这条直线自然就是有理支撑线。

你也可以手动计算这条支撑线，或者从已构造的曲线中获取：

• 手动构造支撑线：直接使用Kernel::Line_2的两点构造函数，传入源点和目标点即可。
• 从已构造曲线获取：调用X_monotone_curve_2的supporting_line()成员函数。

代码示例 #

#include <CGAL/Exact_predicates_exact_constructions_kernel.h>

typedef CGAL::Exact_predicates_exact_constructions_kernel Kernel;
typedef Kernel::Point_2 Point_2;
typedef Kernel::Line_2 Line_2;
typedef CGAL::X_monotone_curve_2<Kernel> X_monotone_curve_2;

int main() {
    // 定义两个有理点
    Point_2 source(1, 3);
    Point_2 target(4, 7);

    // 仅用两点构造X_monotone_curve_2
    X_monotone_curve_2 curve(source, target);

    // 手动计算支撑线
    Line_2 manual_support_line(source, target);

    // 从构造好的曲线中获取支撑线
    Line_2 curve_support_line = curve.supporting_line();

    // 两者是等价的
    assert(manual_support_line == curve_support_line);

    return 0;
}

关键说明 #

• 只要源点和目标点属于Kernel的有理点范畴（比如使用Exact_predicates_exact_constructions_kernel时的精确有理坐标），构造出的支撑线必然是有理的，符合X_monotone_curve_2的要求。
• 两点构造函数本质是对“直线+两点”构造函数的封装，内部自动完成了支撑线的生成，无需额外手动传入。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yu Zhang