最小成本线性规划构建与求解疑问：建筑公司用工成本优化

云上老周

2026-5-9

问题分析与修正方案

首先，咱们先拆解你原来模型里的几个关键错误，这些错误是导致Matlab求解失败的核心原因：

一、你的模型存在的问题

指示变量的约束逻辑错误
你定义z_i = 0 ⇨ x_i > 0，但给出的约束z_i ≥ 1 - x_i根本无法实现这个逻辑：比如当x_i=5时，1-x_i=-4，z_i≥-4是恒成立的，完全约束不了z_i=0。而且这个约束在x_i是连续变量时，根本没法把z_i和x_i的状态绑定起来。
工人数量的约束方向搞反了
你写的y_i ≥ y_{i-1} + x_i是完全错误的：y_i是第i个项目保留的往期工人，它不可能比之前的总工人（y_{i-1}+x_i）还多——毕竟解雇无成本，你最多保留所有现有工人，不可能凭空多出来。这个约束会导致变量值无限增大，直接让求解器崩溃。
变量定义模糊且遗漏初始条件
你没明确y_1=0（项目1启动时无工人），这会让求解器不知道初始状态；同时y_i的定义是“保留的往期工人”，但和“第i个项目实际使用的工人数量”的关系没有理清楚，容易导致薪资成本计算混淆。

因为涉及到“是否雇佣新工人”的二元决策（触发培训基础费），所以这是一个混合整数线性规划问题（需要0-1指示变量），具体设定如下：

总成本=培训费用+薪资费用：

min ∑_{i=1}^6 [ (300z_i + 50x_i) + 100(w_i + x_i) ]

解释：

培训费用：只要雇佣新工人（z_i=1），就支付300美元基础费，加上每个新工人50美元的额外培训费；未雇佣则培训费用为0
薪资费用：每个项目中，公司拥有的工人（w_i）+新雇佣的工人（x_i）都需要支付100美元/人的薪资（符合题目描述的“工人每个项目的薪资为100美元”）

项目需求约束：每个项目的总工人数量必须满足需求
```
w_i + x_i ≥ d_i  ，∀i=1,2,...,6
```
工人数量流转约束：第i+1个项目开始时的工人数量，不能超过第i个项目结束时的总工人数量（可以解雇任意数量工人）
```
w_{i+1} ≤ w_i + x_i  ，∀i=1,2,...,6
```
初始条件：项目1启动时无工人
```
w_1 = 0
```
指示变量与新雇工人的绑定约束：用大M法绑定z_i和x_i，M取足够大的数（比如所有d_i的总和，确保覆盖最大可能的雇佣量）
```
x_i ≤ M * z_i  ，∀i=1,2,...,6
```
解释：当z_i=0时，x_i≤0，结合x_i≥0，可得x_i=0（未雇佣新工人）；当z_i=1时，x_i≤M（允许雇佣任意数量的新工人）
变量非负性与整数约束：
```
w_i ≥ 0, x_i ≥ 0  ，∀i=1,2,...,6
z_i ∈ {0,1}  ，∀i=1,2,...,6
```
（如果允许工人数量为连续变量，也可以去掉整数约束，求解后再取整，结果差异很小）

因为这是混合整数线性规划，你需要用Matlab的intlinprog函数（而不是普通的linprog），步骤大概是：

比如，假设变量顺序是w1,w2,...,w7,x1,x2,...,x6,z1,z2,...,z6，那么整数变量是最后6个（z1-z6）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Roi Hezkiyahu