归并排序不同划分场景的比较次数差异及最优划分问询

一、二分划分的两种情况：确实存在差异 #

你的猜测是对的，不同划分方式下归并排序的比较次数确实存在差异——哪怕渐近时间复杂度都是O(n log n)，具体的比较次数（包括常数因子和低阶项）会有明显不同。

我们可以通过具体例子和递归式求解验证：

• Case 1（等长划分）：递归式为 T₁(n) = 2T₁(n/2) + n-1。当n是2的幂时，解为 T₁(n) = n log₂n -n +1。比如n=4时，计算得T₁(4)=5次比较。
• Case 2（1/4-3/4划分）：递归式为 T₂(n) = T₂(n/4) + T₂(3n/4) + n-1。同样取n=4，计算得T₂(4)=6次比较（推导：T₂(2)=1，T₂(3)=3，T₂(4)=0+3+3=6），明显比Case1多。

差异的核心原因在于：虽然单次合并两个子数组的最少比较次数固定为m+n-1，但不等长划分会让递归树的高度更高——Case2的递归树高度约为log_{4/3}n，远高于Case1的log₂n，导致各层合并的总比较次数累积更多。

二、划分为k个子数组的情况 #

当每次将数组划分为k个子数组时，递归式可表示为：
T(n) = T(n₁) + T(n₂) + ... + T(nₖ) + n-1
其中n₁+n₂+...+nₖ = n，而合并k个有序数组的最少比较次数依然是n-1（因为最终要确定n个元素的顺序，仅需n-1次比较即可完成所有元素的归位）。

这种情况下，比较次数的差异依然来自子数组的划分方式：如果划分的子数组长度差异大，递归树会偏向某一侧，高度增加，总比较次数的常数因子会变大；反之，划分越均匀，递归树越平衡，总比较次数的累积越少。

三、最优划分方式：等长划分 #

要让归并排序的比较次数最少，最优的划分方式是每次将数组划分为等长的子数组。

原因很简单：等长划分能让递归树达到最平衡的状态，树的高度最小（为log_k n），各层的总合并代价（n-1）被均匀分摊到最少的层数中，最终总比较次数的常数因子最小，整体比较次数最少。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Algo