如何寻找映射f:X→Y以分离时间序列X对Y的影响？

以下是几种实用的方法，可用于分离X对Y的作用并构建映射关系：

• 基础回归方法

  • 线性回归：若X与Y呈现近似线性关联，可拟合模型 y = a*x + b + ε（其中ε为噪声项），通过最小二乘法估算参数a和b，得到映射 f(x) = a*x + b，该模型的拟合值即为X对Y的线性作用部分。
  • 非线性回归：若关系是非线性的，可尝试多项式回归（如 y = a*x² + b*x + c）、样条回归，或通过非线性最小二乘法拟合自定义的非线性模型，以此捕捉X与Y的非线性映射。

• 平滑与滤波类方法

  • 局部加权回归（LOWESS/LOESS）：针对X的局部区间拟合线性或非线性模型，通过加权方式弱化噪声的影响，得到的平滑拟合值即为X对Y的局部作用结果，整体构成映射f。
  • 移动平均滤波：对Y进行时间窗口内的移动平均，需确保与X的时间维度对齐，或结合X的取值进行加权平均，分离出与X变化同步的信号成分。

• 机器学习建模方法

  • 树模型（决策树/随机森林）：适合处理非线性、非单调的关联关系，通过对X的特征分割拟合映射f，同时可输出X对Y的特征重要性，辅助验证关系的显著性。
  • 神经网络：使用多层感知器（MLP）捕捉复杂非线性映射，若序列存在时间依赖特性，可选用LSTM等时间序列专用网络。以X为输入、Y为标签训练模型后，模型的预测值即为X对Y的作用部分。

• 时间序列专用分析方法

  • 协整分析与误差修正模型：若X和Y为平稳序列或存在协整关系，可通过误差修正模型（ECM）刻画二者的长期均衡关系（即映射f(X)），同时分离出噪声导致的短期波动。
  • 互谱分析：在频域层面分析X与Y的相干性，提取与X频率一致的信号成分，再转换回时域得到X对Y的作用部分，以此构建映射关系。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sebastien J.