2D网格两点间玩家渐进圆周运动的数学方程求解

核心运动方程推导 #

要实现从点P(Px, Py)到点Q(Qx, Qy)的渐进圆周运动，需先确定圆弧路径的关键参数，再构建参数化运动方程：

1. 基础参数计算

   • 两点间距：d = √[(Qx-Px)² + (Qy-Py)²]
   • PQ中点M：Mx=(Px+Qx)/2，My=(Py+Qy)/2
   • PQ的垂直方向单位向量（决定圆弧凸向，可选上下侧）：
     上侧：vec_perp = (-(Qy-Py)/d, (Qx-Px)/d)
     下侧：vec_perp = ((Qy-Py)/d, -(Qx-Px)/d)

2. 确定圆弧圆心与半径
   设圆弧半径为R（需满足R ≥ d/2，否则无法形成包含PQ的圆弧），圆心O到PQ的垂直距离h = √(R² - (d/2)²)，则圆心坐标：
   Ox = Mx + vec_perp.x * h
Oy = My + vec_perp.y * h

3. 角度参数与运动方程

   • 初始角（O到P的角度）：θP = atan2(Py-Oy, Px-Ox)
   • 目标角（O到Q的角度）：θQ = atan2(Qy-Oy, Qx-Ox)
   • 调整角度差方向（确保沿最短圆弧或指定方向运动，若θQ < θP则θQ += 2π）
   • 最终参数化运动方程（t∈[0,1]，t=0在P点，t=1到达Q点）：

     θ(t) = θP + t*(θQ - θP)
     x(t) = Ox + R*cosθ(t)
     y(t) = Oy + R*sinθ(t)
     

   若要实现渐进平滑的速度变化（比如从静止开始加速，接近终点减速），可替换线性t为缓动函数，例如正弦缓动：

   ease_t = sin(π*t/2)
   θ(t) = θP + ease_t*(θQ - θP)
   

与角度差、距离的关联 #

该运动完全依赖角度差与两点距离：

• 两点距离d：决定圆弧的弦长，直接限制了圆弧半径的最小值（R≥d/2），同时通过d=2Rsin(θ/2)关联圆心角θ（θ为θQ与θP的差值）。
• 角度差θ：即圆弧对应的圆心角，决定了运动的弧度范围，角度变化的方向（顺时针/逆时针）决定了路径的走向，角度变化的速率（结合缓动函数）决定了运动的平滑程度。

示例伪代码 #

import math

# 定义起始点P与目标点Q
Px, Py = 0, 0
Qx, Qy = 4, 0

# 计算基础参数
d = math.hypot(Qx - Px, Qy - Py)
Mx, My = (Px + Qx)/2, (Py + Qy)/2

# 设置圆弧半径（需大于d/2）
R = 3
h = math.sqrt(R**2 - (d/2)**2)

# 选择上侧圆弧的垂直向量
perp_x = -(Qy - Py)/d
perp_y = (Qx - Px)/d
Ox, Oy = Mx + perp_x * h, My + perp_y * h

# 计算初始与目标角度
theta_P = math.atan2(Py - Oy, Px - Ox)
theta_Q = math.atan2(Qy - Oy, Qx - Ox)

# 调整角度差为逆时针方向
if theta_Q < theta_P:
    theta_Q += 2 * math.pi

# 获取t时刻的位置（t∈[0,1]）
def get_circular_position(t):
    # 可选：启用正弦缓动
    # ease_t = math.sin(t * math.pi / 2)
    # theta = theta_P + ease_t * (theta_Q - theta_P)
    theta = theta_P + t * (theta_Q - theta_P)
    x = Ox + R * math.cos(theta)
    y = Oy + R * math.sin(theta)
    return (x, y)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者tester0101