桌游《达芬奇密码》中秘密数字概率分布的高效计算方法问询

我需要高效计算桌游《达芬奇密码》中，基于对手手牌及自身手牌观测结果的秘密数字概率分布。

问题抽象 #

给定长度为N的数组A，以及每个索引i对应的有限数字集合Sᵢ，填充数组A需满足以下约束：

• 每个索引i填入Sᵢ中的一个数字；
• 数组A中所有数字互不重复；
• 数组A可拆分为3个不相交子数组A₁、A₂、A₃（满足concat(A₁,A₂,A₃)=A），每个子数组内的数字需严格递增。

目标是求出满足所有约束时，每个索引位置上各数字的概率分布。

示例说明 #

假设存在长度为5的数组，各索引对应的Sᵢ集合如下（列对应A₁、A₂、A₃）：

| 6 6 | 6 6 | 6 |
|   5 |   5 |   |
| 4 4 |     | 4 |
|     | 3 3 |   |
| 2   | 2 2 |   |
| 1 1 |     |   | 
| ___ | __  | _ |
| A1  | A2  | A3| 

所有符合约束的数组为：
14236、14256、14356、15234、15236、15264、15364、16234、16254、16354、24356、25364、26354、45236

对应的各索引位置数字[1-6]的概率分布为：

6  0      4/14  0     3/14  6/14 
5  0      6/14  0     6/14  0    
4  1/14   4/14  0     0     8/14 
3  0      0     6/14  5/14  0    
2  3/14   0     8/14  0     0    
1  10/14  0     0     0     0    
___________   __________   ______
    A1          A2          A3    

需求说明 #

暴力枚举（如数独式约束传播枚举所有可能）可解决此问题，但我认为存在更高效的算法：概率分布包含的信息少于所有可能解，因此无需生成所有解即可得到结果。

我希望了解是否可借助矩阵运算、不动点迭代/密度演化来近似最终概率分布，或其他无需枚举所有可能的高效准确/近似方法（要求性能优于约束传播，近似效果优于普通蒙特卡洛）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jingjin Wang