递归算法f1的最优/最坏时间复杂度为何与标准答案不符？

首先明确两个核心要点：

• 输入规模的定义：这里的n默认指参数b的取值大小（通常假设b为非负整数，即n = b），我们讨论的渐近复杂度针对的是规模为n≥1的输入，而非b=0这种极端的零规模输入。
• 紧渐近界的要求：时间复杂度分析中，我们需要给出最精确的渐近界，而非宽泛的边界。

为什么你的Ω(1)不符合标准答案？ #

你提到的b=0直接返回的情况，属于输入规模n=0的特殊场景，这在渐近复杂度分析中通常不被纳入讨论——我们关注的是n趋近于无穷大时的算法行为，也就是输入规模足够大时的性能表现。

另外，Ω(1)虽然从数学上成立（任何正的运行时间都大于等于某个常数），但它不是紧下界。如果f1的递归逻辑是：当b>0时必须执行一次递归调用（b减1），且每次递归包含O(1)的固定操作，那么对于规模n=b≥1的输入，算法的运行时间T(n) = T(n-1) + O(1)，解这个递归式可得T(n) = O(n)；同时T(n) ≥ n * c（c是每次递归的常数操作时间），因此T(n)的紧下界是Ω(n)，这也是标准答案给出Ω(n)的原因。

关于O(n)的正确性 #

你给出的O(n)是正确的：当b=n时，递归会执行n次，每次操作是O(1)，总时间复杂度为线性，这也是最坏情况的时间复杂度。

总结：标准答案的核心是针对规模n≥1的输入给出最精确的渐近紧界，而非考虑零规模的特殊输入，同时Ω(n)是比Ω(1)更精准的紧下界。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Freddy Mcloughlan