如何求点P从线段AB向线段CD作正交投影所得的CD上点Q？

已知条件 #

• 线段AB：端点坐标为 $A(X_A,Y_A)$、$B(X_B,Y_B)$
• 线段CD：端点坐标为 $C(X_C,Y_C)$、$D(X_D,Y_D)$
• 待投影点：$P(X_P,Y_P)$
• 约束：AB与CD既不垂直也不共线

需求 #

找到线段CD上的点 $Q(X_Q,Y_Q)$，使得PQ与AB正交（即PQ是从P出发沿AB的垂直方向投影到CD上的落点）

解法步骤 #

1. 利用正交条件建立方程 #

PQ与AB正交，意味着向量$\overrightarrow{PQ}$和$\overrightarrow{AB}$的点积为0：
$$(X_Q - X_P)(X_B - X_A) + (Y_Q - Y_P)(Y_B - Y_A) = 0 \tag{1}$$

2. 用参数方程表示Q点（CD线段上的点） #

设参数 $t \in [0,1]$，则Q点坐标可表示为：
$$
\begin{cases}
X_Q = X_C + t(X_D - X_C) \
Y_Q = Y_C + t(Y_D - Y_C)
\end{cases} \tag{2}
$$

3. 联立方程求解参数t #

将（2）代入（1），展开整理后得到：
$$t = \frac{(X_P - X_C)(X_B - X_A) + (Y_P - Y_C)(Y_B - Y_A)}{(X_D - X_C)(X_B - X_A) + (Y_D - Y_C)(Y_B - Y_A)}$$

为简化计算，可定义两个点积变量：

• dot1 = $(X_D - X_C)(X_B - X_A) + (Y_D - Y_C)(Y_B - Y_A)$（向量$\overrightarrow{CD}$与$\overrightarrow{AB}$的点积）
• dot2 = $(X_P - X_C)(X_B - X_A) + (Y_P - Y_C)(Y_B - Y_A)$

则 $t = dot2 / dot1$，由于AB与CD不垂直，dot1 ≠ 0，可正常计算。

4. 根据t值确定Q点坐标 #

• 若 $t \leq 0$：Q点即为C点 $(X_C,Y_C)$
• 若 $t \geq 1$：Q点即为D点 $(X_D,Y_D)$
• 若 $0 < t < 1$：将t代入（2）式计算Q点的具体坐标

内容的提问来源于stack exchange，提问作者cashsky