利用转移矩阵特征向量求马尔可夫链平稳分布的疑问

为什么直接对P求特征向量得不到π？ #

马尔可夫链的平稳分布π满足πP = π，这意味着π是矩阵P的左特征向量（对应特征值1）。而eigen(P)默认计算的是右特征向量（满足vP = λv），所以直接得到的特征向量和π无关，自然不是π的比例形式。你发现用eigen(P')是对的，因为转置后，原来的左特征向量就变成了转置矩阵的右特征向量，此时求出来的特征向量才是π的比例形式。

如何归一化特征向量得到π？ #

特征向量本身是成比例的，只要满足所有元素之和为1，就是合法的平稳分布。步骤如下：

• 从eigen(P')的结果中，找到对应特征值最接近1的特征向量（数值计算中特征值可能不是精确的1，比如1.0000000001，需筛选误差最小的那个）。
• 提取该特征向量的实部（数值计算可能引入微小虚部，可直接忽略）。
• 计算该向量所有元素的总和，将每个元素除以这个总和，得到的就是归一化后的平稳分布π。

针对你的示例矩阵的计算说明 #

你的转移矩阵P：

0.5 0.2 0.3
0.6 0.2 0.2
0.1 0.8 0.1

对P'求特征值和特征向量后，若得到对应特征值1的比例向量为[2, 2, 1]，计算总和为5，将每个元素除以5，即可得到平稳分布[0.4, 0.4, 0.2]。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者fvim