递归实现归并排序的执行流程疑问及示例解析请求

问题概述 #

我希望深入理解递归实现的归并排序算法的底层执行细节，但对这段mergeSort函数存在疑问：

1. 该函数的基例（base case）是什么？
2. 递归调用到达基例（如处理单元素数组）时，为何没有返回值？
   此外，我以数组[4,2,7,9,12,3,1,5]为例阐述了对执行流程的错误理解，请求结合该示例详细讲解递归执行的完整步骤。

附函数代码 #

def mergeSort(arr):
    if len(arr) > 1:
        mid = len(arr)//2
        print("This is funny", arr, arr[0], len(arr))
        L = arr[:mid]
        R = arr[mid:]
        mergeSort(L)
        mergeSort(R)
        i = j = k = 0
        while i < len(L) and j < len(R):
            if L[i] < R[j]:
                arr[k] = L[i]
                i += 1
            else:
                arr[k] = R[j]
                j += 1
            k += 1

        # 检查是否有剩余元素未处理
        while i < len(L):
            arr[k] = L[i]
            i += 1
            k += 1

        while j < len(R):
            arr[k] = R[j]
            j += 1
            k += 1

疑问解答 #

1. 函数的基例是什么？ #

这段代码的基例是当输入数组的长度≤1时：此时函数不会进入if len(arr) > 1的代码块，直接执行结束。因为单元素数组本身就是有序的，不需要任何拆分或合并操作。

2. 基例为何没有返回值？ #

因为这个mergeSort函数采用原地修改数组的设计：

• 递归调用处理子数组L和R时，会直接把L和R内部排序好（修改传入的子数组本身）。
• 上层函数不需要等待返回值，直接使用已经被排序后的L和R，将它们合并到原数组arr的对应位置即可。
• 整个排序过程中，所有修改都是直接作用于传入的数组对象，因此不需要返回新数组，基例自然也无需返回值。

示例数组[4,2,7,9,12,3,1,5]的完整执行流程 #

我们把执行过程拆分为递归拆分和合并排序两个阶段，结合代码逻辑一步步解析：

阶段1：递归拆分（从原数组不断拆分为更小的子数组） #

1. 初始调用mergeSort([4,2,7,9,12,3,1,5])，长度8>1：
   • 计算mid=4，拆分出L=[4,2,7,9]，R=[12,3,1,5]，先递归调用mergeSort(L)。
2. 处理L=[4,2,7,9]，长度4>1：
   • mid=2，拆分出L1=[4,2]，R1=[7,9]，递归调用mergeSort(L1)。
3. 处理L1=[4,2]，长度2>1：
   • mid=1，拆分出L2=[4]，R2=[2]，递归调用mergeSort(L2)。
   • L2长度为1，触发基例，直接结束。
4. 调用mergeSort(R2=[2])，长度为1，触发基例，直接结束。
5. 回到L1的合并逻辑：将有序的L2=[4]和R2=[2]合并，L1被修改为[2,4]。
6. 调用mergeSort(R1=[7,9])，长度2>1：
   • 拆分出L3=[7]，R3=[9]，递归调用后均触发基例结束。
   • 合并L3和R3，R1被修改为[7,9]。
7. 回到L的合并逻辑：将有序的L1=[2,4]和R1=[7,9]合并，L被修改为[2,4,7,9]。
8. 回到初始调用，递归调用mergeSort(R=[12,3,1,5])：
   • mid=2，拆分出L4=[12,3]，R4=[1,5]，递归调用mergeSort(L4)。
9. 处理L4=[12,3]，长度2>1：
   • 拆分出L5=[12]，R5=[3]，递归调用后均触发基例结束。
   • 合并L5和R5，L4被修改为[3,12]。
10. 调用mergeSort(R4=[1,5])，长度2>1：
    • 拆分出L6=[1]，R6=[5]，递归调用后均触发基例结束。
    • 合并L6和R6，R4被修改为[1,5]。
11. 回到R的合并逻辑：将有序的L4=[3,12]和R4=[1,5]合并，R被修改为[1,3,5,12]。

阶段2：最终合并（将两个有序子数组合并为原数组） #

回到初始调用的合并逻辑，将已经排序好的L=[2,4,7,9]和R=[1,3,5,12]合并到原数组：

• 初始化i=j=k=0，循环比较L[i]和R[j]，将较小值放入arr[k]，逐步移动指针：
  • 1<2 → arr[0]=1，j=1，k=1
  • 2<3 → arr[1]=2，i=1，k=2
  • 3<4 → arr[2]=3，j=2，k=3
  • 4<5 → arr[3]=4，i=2，k=4
  • 5<7 → arr[4]=5，j=3，k=5
  • 7<12 → arr[5]=7，i=3，k=6
  • 9<12 → arr[6]=9，i=4，k=7
• 此时i已等于len(L)，退出循环，将R中剩余的12放入arr[7]。
• 最终原数组被修改为[1,2,3,4,5,7,9,12]，排序完成。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Solruhama