JavaScript中实现正等距投影的逆变换函数需求

我有一个可将3D坐标（x、y、z）转换为2D屏幕位置（w、h）的正等距投影函数，代码如下：

Coords_3D_To_2D (x, y, z) {      
   return {
     w: ((x-y) * (Math.sqrt(3)/2)),
     h: (((-x-y) / 2) - z)
   }
 }

示意图中蓝色线条代表2D屏幕，黑色线条代表3D等距空间：

该函数运行正常，例如调用Coords_3D_To_2D(15, -10, 5)会返回{ w: 21.65, h: -7.5 }。

现需实现其逆变换函数，接收2D屏幕坐标（w、h）及指定z值，返回对应的3D等距坐标。

推导过程 #

通过原函数的公式联立方程组求解x和y：
已知原函数的两个公式：

1. ( w = (x - y) \times \frac{\sqrt{3}}{2} )
2. ( h = \frac{-x - y}{2} - z )

对公式2变形，将z移项后两边乘2：
( x + y = -2(h + z) )

对公式1变形，两边除以( \frac{\sqrt{3}}{2} )：
( x - y = \frac{2w}{\sqrt{3}} )

将两个变形后的公式相加，解出x：
( 2x = -2(h + z) + \frac{2w}{\sqrt{3}} )
( x = -(h + z) + \frac{w}{\sqrt{3}} )

将两个变形后的公式相减，解出y：
( 2y = -2(h + z) - \frac{2w}{\sqrt{3}} )
( y = -(h + z) - \frac{w}{\sqrt{3}} )

完整逆变换函数代码 #

Coords_2D_To_3D (w, h, z = 5) {      
   const sqrt3 = Math.sqrt(3);
   return {
     x: -(h + z) + w / sqrt3,
     y: -(h + z) - w / sqrt3,
     z: z
   }
 }

验证 #

用原函数的测试案例验证：传入w: 21.65, h: -7.5, z:5，逆函数会返回{x:15, y:-10, z:5}，和原输入一致，验证正确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Imagitori