如何使用Python的NumPy与Matplotlib绘制曲线内侧切圆？

核心原理 #

要精准绘制与曲线内侧相切的圆，关键是计算曲线在切点处的法线方向，并确定指向内侧的方向，再沿该方向移动固定半径得到圆心坐标：

1. 对曲线函数求导，得到切线斜率，进而推导法线斜率；
2. 确定法线指向曲线内侧的方向向量并单位化；
3. 沿单位法线向量移动半径长度，得到圆心坐标；
4. 批量绘制曲线与所有相切圆。

针对反向指数曲线 ( y = e^{-x} )：

• 一阶导数（切线斜率）：( y' = -e^{-x} )
• 法线斜率：( m_n = -\frac{1}{y'} = e^x )
• 指向内侧（曲线与x/y轴围成区域）的单位法线向量：( \left( -\frac{1}{\sqrt{1+e^{{2x}}}, -\frac{e}x}{\sqrt{1+e^{2x}}} \right) )

完整代码实现 #

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 生成曲线数据
x = np.arange(0, 2, 0.1)
y = np.exp(-x)  # 用numpy向量运算替代列表推导，效率更高

# 2. 设置相切圆的固定半径
r = 0.1

# 3. 批量计算所有切点对应的圆心坐标
# 计算法线斜率
mn = np.exp(x)
# 计算法线方向向量的模长
norm_len = np.sqrt(1 + mn**2)
# 计算指向内侧的偏移量
dx = -r / norm_len
dy = -r * mn / norm_len
# 最终圆心坐标
xc = x + dx
yc = y + dy

# 4. 绘制曲线与相切圆
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
# 绘制反向指数曲线
ax.plot(x, y, label='反向指数曲线 $y=e^{-x}$', color='blue')
# 逐个添加相切圆
for cx, cy in zip(xc, yc):
    circle = plt.Circle((cx, cy), radius=r, facecolor='black', edgecolor='white')
    ax.add_patch(circle)

# 设置坐标轴等比例，避免圆变形
ax.set_aspect('equal')
# 坐标轴标签
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
# 添加图例
ax.legend()
plt.show()

关键细节说明 #

• 用numpy向量运算批量处理所有切点，避免循环冗余；
• 单位法线向量的推导确保圆心始终落在曲线内侧区域；
• ax.set_aspect('equal')保证圆的形状不会因坐标轴比例失衡而变形。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者hbstha123