FFT归一化与numpy norm选项对比及相关技术疑问

我常需要对循环卷积结果做归一化，参考并修改了如下代码：

def fft_normalize(x):# Normalize a vector x in complex domain.
    c = np.fft.rfft(x)
    # Look at real and image as if they were real
    ri = np.vstack([c.real, c.imag])
    # Normalize magnitude of each complex/real pair
    norm = np.linalg.norm(ri, axis=0)
    if np.any(norm==0): norm[norm == 0] = np.float64(1e-308) #!fixme
    ri= np.divide(ri,norm)
    c_proj = ri[0,:] + 1j * ri[1,:]
    rv = np.fft.irfft(c_proj, n=x.shape[-1])
    return rv

def fft_convolution(a, b):
    return np.fft.irfft(np.fft.rfft(a) * np.fft.rfft(b))

我通过fft_normalize(fft_convolution(a,b))实现需求。

1. 自定义归一化与numpy FFT的norm='ortho'是否等价？ #

注意到numpy文档里有norm选项，想知道它和我实现的归一化是否等价？如果等价，该用哪个选项？
我写了对比代码：

def fft_convolution2(a, b):
    return np.fft.irfft(np.fft.rfft(a) * np.fft.rfft(b), norm='ortho')

测试发现自己写的fft_normalize效果更好。

2. 零范数处理的优化方案 #

我加了处理零范数的代码，但感觉不合理，求优化方案：

if np.any(norm==0): norm[norm == 0] = np.float64(1e-308) #!fixme

3. scipy FFT的性能与版本问题 #

numpy文档提到会把float32提升为float64，但scipy.fftpack不会。想问scipy.fftpack是否更快？另外scipy说fftpack已过时，但新的scipy FFT相关信息缺失，求相关说明。

4. 修改后的fft_normalize函数是否正确？ #

修改后的函数如下，想确认正确性：

def fft_normalize(x):# Normalize a vector x in complex domain.
    c = np.fft.rfft(x)
    ri = np.vstack([c.real, c.imag])
    norm = np.abs(c)
    if np.any(norm==0): norm[norm == 0] = MIN #!fixme
    ri= np.divide(ri,norm)
    c_proj = ri[0,:] + 1j * ri[1,:]
    rv = np.fft.irfft(c_proj, n=x.shape[-1])
    return rv

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sten