狄利克雷分布线性变换后的概率分布求解问询

一、可逆方阵情形（n=m且A可逆） #

你关于可逆方阵的推导完全正确：因为这个线性变换是双射（既单射又满射），我们可以通过变量替换直接得到Y的概率密度。具体来说，X = A⁻¹Y，变量替换的雅可比行列式绝对值是$1/|\det(A)|$，所以Y的密度函数为：
$$
f_Y(Y) = f_X(A^{-1}Y) \cdot \frac{1}{|\det(A)|}
$$
这里$f_X$是狄利克雷分布$D_{\alpha_n}$的密度：
$$
f_X(X) = \frac{1}{B(\alpha)} \prod_{i=1}^n x_i^{\alpha_i - 1}, \quad B(\alpha) = \frac{\prod_{i=1}^n \Gamma(\alpha_i)}{\Gamma(\sum_{i=1}^n \alpha_i)}
$$
代入后得到的$f_Y(Y)$本质上是广义狄利克雷分布的特例，只是变量是原变量的线性逆变换，保持了乘积项的幂次结构。

二、非可逆方阵情形（n≠m或A不可逆） #

这部分更复杂，结合你提到的论文《狄利克雷分布及其在贝叶斯统计中的应用》（原英文标题：Dirichlet Distributions and Their Applications to Bayesian Statistics）的核心结论，我们分情况讨论：

1. 先明确变换的约束 #

题目要求对任意满足$\sum x_i=1$的X，Y=AX都满足$\sum y_i=1$，这意味着矩阵A的每一行元素之和必须为1——因为$\sum_{j=1}^m y_j = \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n A_{ji}x_i = \sum_{i=1}^n x_i \sum_{j=1}^m A_{ji}$，要让这个结果等于1，必须每一行的和都是1。

2. 不同结构下的Y分布 #

• 降维合并（n>m，贝叶斯网络常见场景）：如果A的行是“合并X的若干分量”的形式（比如某一行是[0,1,1,0]，表示y_j = x₂+x₃），那么Y的分布很直观：如果把每个y_j对应的X分量的α参数加起来，得到β_j = $\sum_{i \in S_j} \alpha_i$（S_j是第j行中1对应的X分量索引），此时Y服从普通狄利克雷分布$D_{\beta_m}$。这也是贝叶斯网络中父节点概率由子节点聚合的常见情况。
  如果A不是简单的分量合并，而是更一般的降维线性变换，那么Y的分布是广义狄利克雷分布，需要通过积分所有满足AX=Y的X的密度来得到：
  $$
  f_Y(Y) = \int_{{X | AX=Y, \sum x_i=1, x_i>0}} f_X(X) dX
  $$
• 升维变换（n<m）：这种情况比较少见，因为X是n维单纯形，要让AX落在m维单纯形中，A的列必须满足严格的线性约束。此时Y的分布是狄利克雷分布的投影分布，密度函数需要通过矩生成函数或指数族分布的性质推导，形式相对复杂。

3. 论文关键结论翻译 #

这篇论文的核心观点是：当线性变换矩阵的行和全为1时，变换后的分布仍属于指数族，其充分统计量是原狄利克雷分布充分统计量的线性组合。对于分量合并类的降维变换，只有当合并的分量参数可加时，Y才服从普通狄利克雷分布，否则是广义狄利克雷分布。

三、总结 #

• 可逆方阵：Y的密度是原狄利克雷分布经逆变换后乘以雅可比行列式倒数，属于广义狄利克雷分布。
• 降维分量合并：Y服从普通狄利克雷分布，参数为对应X分量的α和；非合并类降维变换则为广义狄利克雷分布。
• 其他非可逆情况：需通过积分原分布密度或利用指数族性质推导，具体形式依赖A的结构。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Snowy Baboon