节点数量相同、坐标集合一致（顺序可不同）的几何图形是否可判定为相同？

若两个几何图形的节点数量相同，且坐标值完全一致（仅坐标顺序可能不同），能否判定这两个几何图形完全相同？

背景 #

我有两个原本相同但在二维空间中朝向不同的几何图形，已通过主成分分析（PCA）将它们对齐至同一朝向，现需确认二者是否完全相同。我已获取两组图形的X、Y坐标，并统计了两者的节点数量。

我通过以下代码验证第二个图形的所有坐标是否都存在于第一个图形的坐标集合中，结果为'Yes'：

new_coordi1 = [(0.26, 0.27), (0.56, 1.22), (1.51, 0.93), (1.21, -0.03), (0.92, -0.98), (1.87, -1.28), (2.17, -0.33), (2.47, 0.63), (-0.04, -0.69), (-0.34, -1.64), (-1.29, -1.34), (-0.99, -0.39), (-0.7, 0.57), (-1.65, 0.86), (-1.95, -0.09), (-2.25, -1.05), (-1.35, 1.82), (-0.4, 1.52)]

new_coordi2 = [(0.26, 0.27), (0.56, 1.22), (1.51, 0.93), (1.21, -0.03), (0.92, -0.98), (1.87, -1.28), (2.17, -0.33), (2.47, 0.63), (-0.04, -0.69), (-0.99, -0.39), (-1.29, -1.34), (-0.34, -1.64), (-2.25, -1.05), (-1.95, -0.09), (-1.65, 0.86), (-0.7, 0.57), (-0.4, 1.52), (-1.35, 1.82)]

check = all(item in new_coordi2 for item in new_coordi1)

解答 #

这个问题的答案取决于几何图形的拓扑结构：

• 如果是无连接关系的点集（比如散点集合）：只要节点数量相同、所有坐标完全匹配（不管顺序），就可以判定两个图形完全相同。你的验证逻辑是有效的，不过更高效的方式是直接比较集合：

  are_coords_equal = set(new_coordi1) == set(new_coordi2)
  

  集合会自动忽略顺序，当两个集合元素完全一致且数量相同时，即可判定坐标完全匹配。

• 如果是有拓扑结构的图形（比如多边形、折线、带连接关系的图形）：仅坐标匹配还不够，必须验证点的连接顺序是否一致（或符合图形的拓扑等价规则）。

  • 对于多边形：需要确认点的顺序是循环一致的（比如A→B→C→A和B→C→A→B是同一个多边形；顺时针和逆时针顺序的多边形，在PCA对齐朝向后可能需要额外判断是否为同一图形）。
  • 对于折线：点的顺序直接决定了折线的形状，顺序不同即使坐标全匹配，也是不同的折线。

结合你提到的"原本相同但朝向不同的几何图形"，假设是多边形类图形，在PCA对齐朝向后，除了坐标匹配，还需要验证点的循环顺序是否一致（包括反转顺序的情况）。比如可以通过找到一个共同的起始点，然后对比后续点的序列是否一致，或者是否是反转序列。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Urvesh