含空产生式的PCFG转CNF方法及通用转换算法求证

已有类似PCFG转CNF的问题，但本次问题存在特殊性，给定概率上下文无关文法（PCFG）如下：

S --> A [1/2] | B [1/2]
A --> eps [p] | AA [q] | x [r]
B --> y [1]

其中eps表示空串，满足p + q + r = 1且q ≤ 1/2（保证生成过程以概率1终止）。

1. 该PCFG对应的乔姆斯基范式（CNF）是什么？ #

移除空产生式A --> eps时，很难保证生成任意字符串的概率不变。比如空串的生成概率 a := P(eps) = (1 - sqrt(1 - 4 p q)) / (2 q)、字符串x的生成概率P(x) = r / (1 - 2 a q)等，这些概率在转换为CNF后必须保持一致。

2. 是否存在可将任意PCFG转换为CNF形式PCFG的算法（或证明该转换不可行）？ #

搜索发现不少资料声称该转换可行，但找不到相关证明。另外，无概率的CFG转CNF的流程不能直接套用到PCFG上。

补充说明 #

有资料提到“每个不含空串的PCFG G都存在对应的二值化PCFG G'，二者生成相同语言”。二值化PCFG的限制比CNF略宽松，但该资料没有给出相关来源或证明。这里的“不含空串”指不存在X --> eps这类规则，而本次示例文法不满足这个条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Antoine