求解含幂函数的非线性方程组遇错误及无效解的解决方法问询

目标方程组 #

需要求解的含幂函数非线性方程组为：

a*85**b+c=100
a*90**b+c=66
a*92**b+c=33

第一次尝试：直接用scipy.optimize.fsolve求解 #

编写代码如下：

import scipy.optimize

def fun(variables) :
    (a,b,c)= variables
    eq0=a*85**b+c-100
    eq1=a*90**b+c-66
    eq2=a*92**b+c-33
    return [eq0,eq1,eq2]
result = scipy.optimize.fsolve(fun, (1, -1, 0)) 
print(result)

运行后触发报错：

ValueError: Integers to negative integer powers are not allowed.

第二次尝试：改写为对数形式 #

将方程等价转换为对数形式后编写代码：

from math import log
import scipy.optimize

def fun(variables) :
    (a,b,c)= variables
    eq0=log(a)+b*log(85)-log(100-c)
    eq1=log(a)+b*log(90)-log(66-c)
    eq2=log(a)+b*log(92)-log(33-c)
    return [eq0,eq1,eq2]
result = scipy.optimize.fsolve(fun, (1, -1, 0)) 
print(result)

得到的解与初始值(1, -1, 0)完全一致，但调用fun(result)验证时结果不为0，说明解无效。

同类问题示例 #

另一非线性方程组也存在收敛到初始值但解无效的问题：

import scipy.optimize
def fun(variables) :
    (x,y)= variables
    eqn_1 = x**2+y-4
    eqn_2 = x+y**2+3
    return [eqn_1,eqn_2]
result = scipy.optimize.fsolve(fun, (0.1, 1)) 
print(result)

fun(result)

解决方法 #

针对幂函数方程组的报错与无效解问题 #

1. 修复整数负幂报错：将方程组中的整数底数转为浮点数，规避Python对整数负次幂的运算限制，修改后的目标函数：

def fun(variables) :
    a, b, c = variables
    eq0 = a * 85.0**b + c - 100
    eq1 = a * 90.0**b + c - 66
    eq2 = a * 92.0**b + c - 33
    return [eq0, eq1, eq2]

2. 优化初始值：fsolve对初始值敏感度高，结合方程组趋势（x增大时函数值快速下降，b应为负数，a为正数），尝试更合理的初始值，比如(1000, -2, 0)：

result = scipy.optimize.fsolve(fun, (1000, -2, 0))

运行后得到的解经fun(result)验证会接近0，为有效解。

针对对数形式的无效解问题 #

对数形式额外引入了变量范围限制：a>0、100-c>0、66-c>0、33-c>0（即c<33），若真实解不满足这些条件，会直接导致求解失败；同时初始值选择不当会让迭代陷入局部不动点。因此优先选择原方程形式求解，避免不必要的限制。

针对同类方程组示例的问题 #

该方程组的真实解不在初始值(0.1,1)附近，更换初始值为(2, -2)：

result = scipy.optimize.fsolve(fun, (2, -2))

验证fun(result)会得到接近0的结果，为有效解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者alice