如何估计两个2D numpy数组之间的最优rigid transformation矩阵？

我有两个尺寸相同、元素为0和1的2D numpy数组，示例如下：

# 原始数组
[[0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0],
 [0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1],
 [1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0],
 [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0]]

其中1代表位置(x,y)处存在点，0代表无点，可将该矩阵视为点云。

第二个数组是第一个数组的所有1元素沿同一方向平移相同步数得到的，部分1会移出数组范围，同时空余位置会出现新的1，示例如下：

# 平移后的数组
[[1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1],
 [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0],
 [0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1],
 [1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0]]

如上例中，第一个数组向下平移1行，第二数组新增第一行，原数组最后一行因平移消失。平移方向任意，但属于保持点间距离的刚性变换（rigid transformation）。

尝试过OpenCV的多种方法但未得到理想结果，请问是否有巧妙的方法可估计这两个数组间的最优warp matrix？

针对这种纯平移的刚性变换场景，直接利用点集互相关或相位相关是最高效的方法，步骤如下：

1. 提取点坐标 #

首先从两个数组中提取所有值为1的坐标点集：

import numpy as np

# 示例数组
arr1 = np.array([
    [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0],
    [0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1],
    [1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0],
    [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0]
])
arr2 = np.array([
    [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1],
    [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0],
    [0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1],
    [1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0]
])

# 提取坐标 (y, x)，numpy的where返回(行索引, 列索引)对应图像坐标系的(y, x)
points1 = np.argwhere(arr1 == 1)
points2 = np.argwhere(arr2 == 1)

2. 用相位相关计算平移量 #

相位相关基于傅里叶变换的平移不变性，能精准计算两个数组的平移偏移，即使存在部分点缺失/新增也能稳定工作：

from scipy.signal import correlate2d

# 计算互相关
corr = correlate2d(arr1, arr2, mode='same')
# 找到互相关峰值的位置
y_peak, x_peak = np.unravel_index(np.argmax(corr), corr.shape)

# 转换为实际平移量（相对于数组中心的偏移）
y_shift = y_peak - (arr1.shape[0] // 2)
x_shift = x_peak - (arr1.shape[1] // 2)

# 示例中arr1向下平移1行对应y_shift=1
print(f"平移量：y方向 {y_shift}, x方向 {x_shift}")

3. 构建Warp Matrix #

2D平移对应的仿射变换矩阵（warp matrix）形式为：

[1  0  dx]
[0  1  dy]
[0  0  1]

其中dx是x方向平移量，dy是y方向平移量。根据计算出的偏移量直接构建：

# 构建3x3的变换矩阵（兼容OpenCV的仿射变换格式）
warp_matrix = np.array([
    [1, 0, x_shift],
    [0, 1, y_shift],
    [0, 0, 1]
], dtype=np.float32)

关键说明 #

• 相位相关的优势：无需特征匹配，通过整体信号的相关性找到最优偏移，对部分点不重叠的场景鲁棒性更强。
• 坐标方向注意：numpy数组索引是(行, 列)，对应图像坐标系的(y, x)，平移量方向需和业务场景对应。
• OpenCV兼容：生成的warp_matrix可直接传入cv2.warpAffine完成变换验证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Watchdog