递归函数归纳法证明求助：证𝑇(𝑛)≤𝑐log𝑛+𝑐

问题背景 #

已知递归函数 ( T(n) ) 定义如下：

• 基例：( T(1) = c )（( c ) 为任意正常数）
• 递归步骤：当整数 ( n \geq 2 ) 时，( T(n) = T(\lfloor n/2 \rfloor) + c )（( \lfloor x \rfloor ) 为向下取整函数）

需通过数学归纳法证明：对所有正整数 ( n \geq 1 )，有 ( T(n) \leq c\log n + c )（注：此处对数默认以2为底，符合分治递归的常规分析场景）

1. 验证基础情况（( n=1 )） #

• 左边：( T(1) = c )
• 右边：( c\log 1 + c = c \times 0 + c = c )

显然 ( T(1) = c \leq c )，基础情况成立。

2. 归纳假设 #

假设对于所有满足 ( 1 \leq k < n ) 的整数 ( k )，不等式 ( T(k) \leq c\log k + c ) 均成立。

3. 归纳步骤（( n \geq 2 )） #

我们需要证明 ( T(n) \leq c\log n + c )：

1. 根据递归定义展开 ( T(n) )：
   [
   T(n) = T(\lfloor n/2 \rfloor) + c
   ]
2. 由于 ( n \geq 2 )，可得 ( \lfloor n/2 \rfloor < n )，满足归纳假设的适用条件，因此：
   [
   T(\lfloor n/2 \rfloor) \leq c\log(\lfloor n/2 \rfloor) + c
   ]
3. 将上式代入递归式：
   [
   T(n) \leq c\log(\lfloor n/2 \rfloor) + c + c = c\log(\lfloor n/2 \rfloor) + 2c
   ]
4. 利用向下取整的性质 ( \lfloor n/2 \rfloor \leq n/2 )，结合对数函数的单调性（单调递增），可得：
   [
   \log(\lfloor n/2 \rfloor) \leq \log(n/2)
   ]
5. 展开对数项（以2为底时 ( \log(n/2) = \log n - \log 2 = \log n - 1 )）：
   [
   T(n) \leq c(\log n - 1) + 2c = c\log n - c + 2c = c\log n + c
   ]

至此，归纳步骤得证。

4. 结论 #

根据数学归纳法的原理，对于所有正整数 ( n \geq 1 )，不等式 ( T(n) \leq c\log n + c ) 恒成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dilrose Reji