R中计算1/x在(-∞,∞)的积分，三个函数结果各异，孰是孰非？

首先明确数学结论：∫(-∞,∞)1/x dx在常规黎曼积分意义下是发散的，不存在有限的积分值。以下是三个R函数结果的具体分析：

各函数结果解读 #

• base R的integrate函数：返回的0是柯西主值，而非常规黎曼积分的结果。柯西主值是一种特殊的积分定义，通过取极限$\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( \int_{-\infty}^{-\varepsilon} \frac{1}{x}dx + \int_{\varepsilon}^{\infty} \frac{1}{x}dx \right)$得到，此时左右两部分的发散量相互抵消，结果为0。但这并不意味着积分在黎曼意义下收敛，只是一种特殊定义下的结果。
• pracma包的quadinf函数：返回的-106.227是错误的数值近似结果。从其给出的relerr = 108.0135可以看出，相对误差已经远大于结果本身，说明该算法没有正确处理x=0处的奇点，导致计算出了一个无意义的有限值，完全不可信。
• cubature包的cubintegrate函数：返回的Inf是正确的结果。它准确识别到积分在x=0附近的部分无法收敛，整个积分是发散的，符合数学上的结论。

结果差异的原因 #

三个函数采用了不同的数值积分算法，处理无穷区间和奇点的逻辑不同：

• integrate默认会对包含奇点的积分尝试计算柯西主值，因此得到了0；
• quadinf的算法可能未有效检测或处理x=0处的奇点，导致错误的近似；
• cubintegrate的算法更严谨地判断出积分的发散性，返回了代表无穷大的Inf。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者J. Doe