Matlab中高斯样本与理论高斯曲线匹配绘图问题

问题背景 #

我正在进行高斯过程的基础示例实验，想要手动生成高斯过程的样本向量并绘图。首先通过以下代码创建均值μ=2、标准差σ=1的正态分布并生成样本向量s：

% CLEAR ALL
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close all

% CREATE GAUSSIAN PROCESS
mu = 2
sigma = 1
d = makedist('Normal','mu',mu,'sigma',sigma);

% CREATE SAMPLE OF ABOVE GAUSSIAN PROCESS
s = random(d, [1000, 1]);

随后绘制样本直方图并叠加理论高斯曲线：

% DISPLAY HOW DISTRIBUTION LOOKS LIKE
figure('Name', 'PDF')
title('GAUSSIAN DISTRIBUTION \mu=2 and \sigma=1')
histogram(s,100); hold on;

% DISPLAY HOW DISTRIBUTION SHALL LIKE
gauss_x = -5:0.01:5
gauss_y = ...
    (1/(sigma*sqrt(2*pi))) ...
    *exp( ...
    (-1/2)*((gauss_x-mu)/sigma).^2 ...
    )
plot(gauss_x, gauss_y); hold off;

但两者尺度不匹配，理论高斯曲线远低于直方图。尝试使用Normalization='probability'参数归一化：

% NORMALIZE SAMPLE
figure('Name', 'PDF NORMALISED')
title('GAUSSIAN DISTRIBUTION \mu=2 and \sigma=1 NORM.')
histogram(s,100, 'Normalization','probability'); hold on;
plot(gauss_x, gauss_y); hold off;

仍未实现直方图与理论曲线的匹配，请问问题出在哪里？是对Normalization参数理解有误，还是高斯概率相关知识有遗漏？

原因分析 #

问题核心是直方图归一化模式与理论PDF的定义不匹配：

• 默认的直方图（无归一化）纵轴是区间内的样本数量，而理论PDF的纵轴是概率密度（单位区间内的概率），两者尺度完全不同，无法对齐。
• 使用Normalization='probability'时，直方图纵轴是区间内样本的占比（概率值），但你计算的gauss_y是概率密度，两者仍不属于同一尺度范畴。

解决方法 #

要让直方图与理论PDF匹配，需将直方图的归一化模式设置为'pdf'，此时直方图纵轴直接对应概率密度，与理论计算的gauss_y完全一致。

修正后的代码如下：

% 绘制匹配的直方图与PDF曲线
figure('Name', 'PDF MATCHED')
title('GAUSSIAN DISTRIBUTION \mu=2 and \sigma=1 (PDF MATCH)')
% 使用pdf模式归一化，纵轴对应概率密度
histogram(s,100, 'Normalization','pdf'); hold on;

% 理论高斯PDF计算保持不变
gauss_x = -5:0.01:5;
gauss_y = (1/(sigma*sqrt(2*pi))) * exp( (-1/2)*((gauss_x-mu)/sigma).^2 );

plot(gauss_x, gauss_y, 'LineWidth', 2, 'Color', 'r'); hold off;
legend('样本直方图(PDF)', '理论高斯PDF');

补充：Matlab直方图归一化模式说明 #

• 'count'（默认）：纵轴为区间内的样本数量
• 'probability'：纵轴为区间样本占总样本的比例（概率值）
• 'pdf'：纵轴为概率密度（区间概率除以区间宽度），与理论PDF定义一致
• 'cumcount'：纵轴为累计样本数量
• 'cdf'：纵轴为累计分布函数值

内容的提问来源于stack exchange，提问作者M.E.