在R(v.4.2.1)中求解使函数达到目标最大值的参数x值

首先，你的函数f(x)是平方根包裹的二次型，由于平方根是单调递增函数，最大化f(x)等价于最大化其内部的二次型表达式，这样可以简化计算。

步骤1：展开二次型 #

设向量v = [a, b, c, x]^T，二次型为v^T %*% rho %*% v。代入a = b = c = 1000和给定的rho矩阵，展开后得到：

二次型 = x² + 2000x + 4200000

因此，函数可简化为：

f(x) = sqrt(x² + 2000x + 4200000)

步骤2：分析函数单调性 #

对f(x)求导可得：

f’(x) = (x + 1000) / sqrt(x² + 2000x + 4200000)

在x ≥ 0的区间内，分子x+1000 > 0，分母始终为正，因此f’(x) > 0，说明**f(x)在x ≥ 0时单调递增**。

两种场景的结果 #

场景1：在区间[0, 10000]内找使f(x)最大的x #

由于函数单调递增，最大值出现在区间右端点：

• x = 10000
• 此时f(x) = sqrt(10000² + 2000*10000 + 4200000) ≈ 11144.5

场景2：找使f(x) = 10000的x值 #

解方程sqrt(x² + 2000x + 4200000) = 10000，两边平方后整理为二次方程：

x² + 2000x - 95800000 = 0

用求根公式计算得正根：

• x ≈ 2111.2（负根舍去，因为x ≥ 0）

你的代码运行结果说明 #

你使用optimize函数在[0, 10000]区间求最大值，由于函数单调递增，代码返回的output$maximum会是10000，对应output$objective约为11144.5。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ric87