傅里叶变换中为何可将图形的一个轴转为虚数分量？

这背后的核心数学依据是复数平面与二维笛卡尔平面的等价性，以及参数方程的复数化表示，下面具体拆解：

1. 复数平面和二维点的一一对应关系 #

复数的本质就是一对有序实数：对于任意复数 ( z = x + iy )（其中 ( i ) 是虚数单位，满足 ( i^2=-1 )），都可以唯一对应二维笛卡尔平面上的点 ( (x, y) )；反过来，平面上的任意点 ( (x, y) ) 也能唯一表示成复数 ( x + iy )。这种对应关系也叫高斯平面，是复数几何意义的核心。

你代码里的正方形图形，本质是平面上的一组点 ( (x, y) )，把x坐标作为实部、y坐标作为虚部组合成复数，只是把这些点从笛卡尔平面“平移”到了复数平面，完全没有改变点的位置信息。

2. 参数方程的复数简化表示 #

你的代码里用参数 ( t \in [0, 2\pi] ) 来遍历正方形的所有点：通过插值得到了两个函数 ( x(t) )（对应x坐标随t的变化）和 ( y(t) )（对应y坐标随t的变化），这其实就是正方形的参数方程：
[
\begin{cases}
x = x(t) \
y = y(t)
\end{cases} \quad t \in [0, 2\pi]
]
把这两个函数组合成复值函数 ( f(t) = x(t) + iy(t) )，只是参数方程的一种简洁写法——用一个复数函数就同时描述了x和y两个维度的变化，省去了写方程组的麻烦，本质上和参数方程完全等价，没有引入任何新的数学假设。

3. 复值函数在曲线绘制中的实用价值 #

结合3Blue1Brown的视频背景，这种复数表示的核心优势在于方便后续的傅里叶级数分解：复值函数的傅里叶展开可以把曲线拆解成一系列不同频率的圆周运动（每个频率对应一个复数系数），把这些圆周运动叠加起来就能还原出原始的正方形（或任意闭合曲线）。你代码里引入的quad积分工具，就是用来计算这些傅里叶系数的，这也是用圆形（圆周运动）绘制复杂图形的核心原理。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rafaelcb21