如何移除阿基米德条带法函数上下和绘图末尾的多余矩形？

核心问题 #

1. 末尾多余矩形：原代码中x = np.linspace(a, b, N+1)生成了N+1个点，以此计算的lower_bar和upper_bar也包含N+1个柱子位置，但我们只需要N个矩形覆盖[a, b]区间，最后一个位置对应的矩形超出了上限b，导致多余。
2. 上和计算错误：原代码用了区间中点的函数值求和，这是中点和，不是上和。对于单调递增的函数f(x)=0.5x²，每个区间的最大值在右端点，上和应该取右端点的函数值计算。
3. 绘图逻辑混乱：原代码的柱子位置计算错误，导致部分柱子悬于空中。

修复后的代码 #

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
    return 0.5*x*x

a = 0  # 积分下限
b = np.pi  # 积分上限
N = 30  # 矩形数量

width = (b - a) / N
# 生成N+1个区间端点（左端点+右端点）
x = np.linspace(a, b, N+1)
# 左端点的函数值（对应下和的高度）
y_left = f(x[:-1])
# 右端点的函数值（对应上和的高度）
y_right = f(x[1:])

# 计算下和：左端点高度求和
lower_sum = np.sum(width * y_left)
# 计算上和：右端点高度求和
upper_sum = np.sum(width * y_right)

print("下和：", lower_sum)
print("上和：", upper_sum)

# 绘制函数曲线
plt.plot(x, f(x), 'b-', label='f(x)')
# 绘制下和矩形：左端点为柱子左边缘，高度为左端点函数值
plt.bar(x[:-1], y_left, width=width, alpha=0.5, color='blue', align='edge', label='下和')
# 绘制上和矩形：左端点为柱子左边缘，高度为右端点函数值
plt.bar(x[:-1], y_right, width=width, alpha=0.5, color='red', align='edge', label='上和')

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()
plt.savefig('plot.pdf')
plt.show()

关键修改说明 #

• 移除多余矩形：用x[:-1]取前N个点作为柱子的左边缘，刚好生成N个矩形，完全覆盖[a, b]区间，不会超出上限。
• 修正上和计算：改用区间右端点的函数值y_right = f(x[1:])计算上和，符合单调递增函数的上和定义。
• 规范绘图逻辑：设置align='edge'让柱子的左边缘对齐区间左端点，确保每个矩形严格对应一个子区间，同时柱子底部默认从y=0开始，解决“悬于空中”的问题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者laterrr