DOcplex疑问：对偶问题的对偶为何与原问题不一致？

原问题代码 #

mdl = Model(name='tubs_primal')

aqua = mdl.continuous_var(name='aqua')
hydro = mdl.continuous_var(name='hydro')
typhoon = mdl.continuous_var(name='typhoon')

pump = mdl.add_constraint(aqua + hydro + typhoon <= 200, 'pump')
hour = mdl.add_constraint(9*aqua + 6*hydro + 8*typhoon<= 1566, 'hour')
tubing = mdl.add_constraint(12*aqua+16*hydro + 13*typhoon <= 2880, 'tubing')

profit = 350*aqua + 300*hydro + 320*typhoon

mdl.maximize(profit)

对偶问题代码 #

mdl = Model(name='tubs_dual')

pump = mdl.continuous_var(name='pump', lb=None)    
hour = mdl.continuous_var(name='hour', lb=None)    
tubing = mdl.continuous_var(name='tubing', lb=None)

aqua = mdl.add_constraint(pump + 9*hour + 12*tubing >= 350, 'aqua')
hydro = mdl.add_constraint(pump + 6*hour + 16*tubing >= 300, 'hydro')
typhoon = mdl.add_constraint(pump + 8*hour + 13*tubing >= 320, 'typhoon')

cost = 200*pump + 1566*hour + 2880*tubing

mdl.minimize(cost)

问题描述 #

原问题代码运行正常，但运行对偶问题时，CPLEX显示对偶目标值与原问题目标值不同。疑惑点：对偶问题的对偶为何与原问题不一致？

运行日志 #

迭代日志...
迭代次数:     1   对偶目标值     =         60900.000000
目标值: 66100.000
  pump=200.000
  hour=16.667

问题原因及解决方法 #

• 对偶变量边界约束错误：原问题是最大化线性规划，所有约束均为<=类型，对应的对偶变量必须是非负的（lb=0），而你设置了lb=None（无下界），导致对偶问题解空间被错误放大，违反强对偶定理的前提条件。
• 修正方案：将对偶问题中三个变量的下界设为0，修正后代码如下：

mdl = Model(name='tubs_dual')

# 修正：对偶变量设置非负下界
pump = mdl.continuous_var(name='pump', lb=0)    
hour = mdl.continuous_var(name='hour', lb=0)    
tubing = mdl.continuous_var(name='tubing', lb=0)

aqua = mdl.add_constraint(pump + 9*hour + 12*tubing >= 350, 'aqua')
hydro = mdl.add_constraint(pump + 6*hour + 16*tubing >= 300, 'hydro')
typhoon = mdl.add_constraint(pump + 8*hour + 13*tubing >= 320, 'typhoon')

cost = 200*pump + 1566*hour + 2880*tubing

mdl.minimize(cost)

• 强对偶定理说明：当原问题和对偶问题均有可行解时，两者最优目标值必然相等。修正对偶变量的非负约束后，对偶问题的最优目标值会与原问题一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者qqzj