旋转矩阵逆运算等式求证：Ra⁻¹·Rb⁻¹=(Ra·Rb)⁻¹是否成立？

首先明确：你提出的等式Ra⁻¹·Rb⁻¹=(Ra·Rb)⁻¹不成立，正确的矩阵逆乘积法则是(Ra·Rb)⁻¹ = Rb⁻¹·Ra⁻¹，以下是证明思路：

核心依据：逆矩阵的定义 #

对于任意可逆矩阵M，其逆矩阵M⁻¹满足：
M·M⁻¹ = M⁻¹·M = I
其中I为单位矩阵。

证明步骤 #

要验证(Ra·Rb)⁻¹ = Rb⁻¹·Ra⁻¹，只需证明(Ra·Rb)与Rb⁻¹·Ra⁻¹的乘积为单位矩阵：

• 计算正向乘积：

  (Ra·Rb)·(Rb⁻¹·Ra⁻¹) = Ra·(Rb·Rb⁻¹)·Ra⁻¹  （矩阵乘法结合律）
                       = Ra·I·Ra⁻¹          （Rb的逆矩阵定义：Rb·Rb⁻¹=I）
                       = Ra·Ra⁻¹
                       = I                  （Ra的逆矩阵定义）
  

• 计算反向乘积：

  (Rb⁻¹·Ra⁻¹)·(Ra·Rb) = Rb⁻¹·(Ra⁻¹·Ra)·Rb  （矩阵乘法结合律）
                       = Rb⁻¹·I·Rb          （Ra的逆矩阵定义：Ra⁻¹·Ra=I）
                       = Rb⁻¹·Rb
                       = I                  （Rb的逆矩阵定义）
  

补充说明 #

只有当Ra与Rb可交换（即Ra·Rb = Rb·Ra）时，Ra⁻¹·Rb⁻¹才会等于(Ra·Rb)⁻¹，但绝大多数旋转矩阵不满足交换性（比如绕x轴和绕y轴的旋转矩阵相乘，顺序不同结果不同），因此原等式一般不成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Titi