线性公式转矩阵形式及位置匹配方法咨询（含代码结果格式化）

1. 将der_1格式化为刚度矩阵形式 #

\begin{bmatrix}
f_1
\end{bmatrix}
$$

如果要通过SymPy直接输出矩阵形式，可以修改代码，将偏导结果整理为系数矩阵：

from sympy import symbols, diff, Matrix

# 定义符号
u_1, u_2, u_3, u_4 = symbols('u_1 u_2 u_3 u_4')
f_1, f_2, f_3, f_4 = symbols('f_1 f_2 f_3 f_4')
k_1, k_2, k_3, k_4 = symbols('k_1 k_2 k_3 k_4')

# 定义势能
U_internal = 0.5*k_1*(u_1 - u_3)**2 + 0.5*k_2*(u_3 - u_4)**2 + 0.5*k_3*(u_4 - u_2)**2
O_potential = (-f_1*u_1 - f_2*u_2 - f_3*u_3 - f_4*u_4)
potential_energy = U_internal + O_potential

# 求偏导并整理为矩阵行
der_1 = diff(potential_energy, u_1)
# 将偏导移项为 系数*u1 + 系数*u2 + ... = f1 的形式
left_side = der_1 + f_1
# 提取各位移变量的系数
coeffs = [left_side.coeff(var) for var in [u_1, u_2, u_3, u_4]]
stiffness_row = Matrix([coeffs])
displacement_vec = Matrix([u_1, u_2, u_3, u_4])
force_vec = Matrix([f_1])

print("刚度矩阵行：")
print(stiffness_row)
print("\n位移向量：")
print(displacement_vec)
print("\n力向量：")
print(force_vec)
print("\n矩阵形式：")
print(stiffness_row * displacement_vec, "=", force_vec)

运行后会输出规范的矩阵形式，对应刚度矩阵的第一行。

2. 普通线性公式转位置正确的矩阵形式 #

通用步骤如下：

• 步骤1：整理线性公式
  将公式所有变量项移到左侧，常数/载荷项移到右侧，确保形式为：$a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = b$
• 步骤2：确定变量顺序
  明确所有目标变量的固定顺序（比如按$u_1$到$u_4$的顺序），这个顺序决定了矩阵列的对应关系
• 步骤3：提取系数
  对每个变量，提取其在左侧表达式中的系数（如果变量未出现，系数为0）
• 步骤4：构建矩阵
  将提取的系数按变量顺序组成一行，对应刚度矩阵的一行；右侧的$b$对应力向量的一个元素。如果有多个线性公式，将每行堆叠起来形成完整的刚度矩阵，右侧堆叠形成完整的力向量。

举个例子，若有公式 $2u_1 - 3u_3 = f_2$，按$u_1,u_2,u_3,u_4$的顺序，系数为[2, 0, -3, 0]，对应刚度矩阵的一行：$\begin{bmatrix}2 & 0 & -3 & 0\end{bmatrix}$，力向量对应元素为$f_2$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Elta