如何无需逐项计算实现两个等长数组的点积运算？

针对给定的数组 a=[1,2,3,4] 和 b=[5,6,7,8]，可以通过以下数学恒等式避免逐项相乘求和的形式计算点积：

方法一：利用和的平方展开式 #

基于代数恒等式：

$(a_i + b_i)^2 = a_i^2 + 2a_i b_i + b_i^2$

对所有元素求和后移项推导，得到点积公式：

sum(a_i * b_i) = [sum((a_i + b_i)²) - sum(a_i²) - sum(b_i²)] / 2

代入示例数组计算：

• 对应元素和的平方和：$(1+5)^2 + (2+6)^2 + (3+7)^2 + (4+8)^2 = 36 + 64 + 100 + 144 = 344$
• 数组a的平方和：$1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$
• 数组b的平方和：$5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 = 25 + 36 + 49 + 64 = 174$
• 代入公式：$(344 - 30 - 174) / 2 = 140 / 2 = 70$，与逐项计算结果一致。

方法二：利用差的平方展开式 #

基于代数恒等式：

$(a_i - b_i)^2 = a_i^2 - 2a_i b_i + b_i^2$

移项后得到另一种点积公式：

sum(a_i * b_i) = [sum(a_i²) + sum(b_i²) - sum((a_i - b_i)²)] / 2

代入示例验证：

• 对应元素差的平方和：$(1-5)^2 + (2-6)^2 + (3-7)^2 + (4-8)^2 = 16 + 16 + 16 + 16 = 64$
• 代入公式：$(30 + 174 - 64) / 2 = 140 / 2 = 70$，结果正确。

编程层面的简化实现 #

如果用Python实现，可借助内置语法或库函数，无需手动写逐项索引的代码：

a = [1,2,3,4]
b = [5,6,7,8]

# 用zip和生成器表达式简化
dot_product = sum(x*y for x,y in zip(a,b))

# 或用numpy库的dot函数
import numpy as np
dot_product = np.dot(a, b)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Arumugam Kannan