如何找出阈值范围内满足方程2x+3y+2z=10的所有变量组合？

问题描述 #

给定方程 10 = 2x + 3y + 2z，需要找出变量x、y、z在-100至100范围内的所有满足等式的组合。尝试了以下R代码但未得到结果：

set.seed(333)

result = 10

# sample random values from uniform distribution
x = runif(100, -100, 100)
y = runif(100, -100, 100)
z = runif(100, -100, 100)

# store the vectors in a single dataframe
df = data.frame(x, y, z)

# find all the combinations of x, y and z
expanded = expand.grid(df)

# calculation with all the combinations
expanded$result = ((expanded$x * 2) + (expanded$y * 3) + (expanded$z * 2)) == result

# show the data where result is 10
expanded[expanded$result, ]

[1] x      y      z      result
<0 rows> (or 0-length row.names)

原代码的问题 #

• 用runif()生成的是连续随机浮点数，三个随机浮点数恰好满足等式的概率几乎为0，不可能找到符合条件的组合。
• expand.grid(df)只是把三个随机向量做笛卡尔积，本质还是用随机值碰运气，完全不具备可行性。

正确实现方法 #

方法1：寻找整数解

方程是线性丢番图方程，可通过数学推导减少计算量：
从方程变形得：2(x+z) = 10 - 3y，所以10-3y必须是偶数，即y必须是偶数（奇数乘偶数才为偶数）。之后遍历符合条件的y，推导x和z的关系并筛选范围：

# 定义变量范围
min_val <- -100
max_val <- 100

# 初始化存储结果的数据框
solutions_int <- data.frame(x = integer(), y = integer(), z = integer())

# 遍历所有符合条件的y（偶数）
for (y in seq(min_val, max_val, by = 2)) {
  right_part <- 10 - 3*y
  # 跳过10-3y为奇数的情况
  if (right_part %% 2 != 0) next
  
  target_xz <- right_part %/% 2
  # 遍历x的所有可能值，计算z并判断是否在范围内
  for (x in min_val:max_val) {
    z <- target_xz - x
    if (z >= min_val && z <= max_val) {
      solutions_int <- rbind(solutions_int, data.frame(x, y, z))
    }
  }
}

# 查看前5组解
head(solutions_int)
# 总共有多少组整数解
nrow(solutions_int)

方法2：寻找实数解（连续值）

实数解有无穷多个，可固定x和y的取值（按指定步长生成序列），计算对应的z后筛选范围：

min_val <- -100
max_val <- 100
step <- 5 # 步长越小，生成的样本越密集

# 生成x和y的序列
x_seq <- seq(min_val, max_val, by = step)
y_seq <- seq(min_val, max_val, by = step)

# 生成x和y的所有组合，计算对应的z
solutions_real <- expand.grid(x = x_seq, y = y_seq)
solutions_real$z <- (10 - 2*solutions_real$x - 3*solutions_real$y)/2

# 筛选z在[-100,100]范围内的结果
solutions_real <- solutions_real[solutions_real$z >= min_val & solutions_real$z <= max_val, ]

# 查看前5组实数解样本
head(solutions_real)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者bird