如何检查两球面上两点的连线是否不与任一球体相交

你不需要用基变换矩阵，直接在全局坐标系下计算即可，步骤如下：

核心思路 #

因为p1在球1表面、p2在球2表面，我们只需要检查线段中间部分是否进入任一球体的内部（排除端点，因为端点本身就在球面上）。

针对单个球体的检测步骤 #

假设要检测的球体参数为：中心C，半径R；检测线段为p1 -> p2。

1. 计算向量：

   • 线段方向向量：vec_ab = p2 - p1
   • 球心到线段起点的向量：vec_ac = C - p1

2. 计算线段上离球心最近点的参数t：

   dot_ab_ab = vec_ab · vec_ab  # 向量vec_ab的点积，即长度平方
   if dot_ab_ab == 0:
       # 线段长度为0，两点重合，直接跳过（不会穿过球体）
       continue
   t = (vec_ac · vec_ab) / dot_ab_ab
   

3. 筛选有效的t范围：

   • 检测球1时：t必须在(0, 1)之间（因为t=0对应p1，本身在球1表面，不算穿过）
   • 检测球2时：t必须在(0, 1)之间（因为t=1对应p2，本身在球2表面，不算穿过）

4. 计算最近点并判断是否穿球：
   如果t在有效范围内：

   • 计算最近点：closest_point = p1 + t * vec_ab
   • 计算最近点到球心的距离平方：dist_sq = |closest_point - C|²
   • 如果dist_sq < R²，说明线段穿过了该球体内部，不符合要求。

完整检测流程 #

• 对球1执行上述检测，若穿过则连线无效
• 对球2执行上述检测，若穿过则连线无效
• 两个检测都通过，说明连线符合要求

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lightsong