Julia中广播数组求和：无临时矩阵分配的高效实现方案

原代码的核心问题是逐元素相乘会生成尺寸为(m1,m1,n1,n1,n2,n3)的巨型临时矩阵，完全可以通过数学变形和框架内置的优化操作规避，以下是两种可行方案：

方案一：使用爱因斯坦求和（einsum） #

爱因斯坦求和能直接描述计算逻辑，且多数数值计算框架（NumPy、PyTorch、TensorFlow等）会自动优化内存，不会生成中间大数组。

步骤如下：

1. 先将big_mat重塑为更清晰的维度：

   BM = reshape(big_mat, m1, n1, n2, n3)
   

2. 用einsum直接完成跨维度求和：

   temp = einsum('ipkl,jqkl->ijpq', BM, BM)
   D = temp * C
   

这里einsum表达式'ipkl,jqkl->ijpq'表示：对BM的第3、4维度（对应n2、n3）求和，将BM[i,p,k,l]与BM[j,q,k,l]的乘积累积到结果的[i,j,p,q]位置，最后和C逐元素相乘得到最终结果。

方案二：利用矩阵乘法优化 #

矩阵乘法通常基于BLAS库实现，效率极高，同样可避免大临时矩阵：

1. 将big_mat重塑为二维矩阵，合并n2、n3维度：

   BM_flat = reshape(big_mat, m1 * n1, n2 * n3)
   

2. 计算矩阵乘积，再调整维度匹配C的形状：

   mat_prod = BM_flat @ BM_flat.T  # 形状为(m1*n1, m1*n1)
   mat_prod_reshaped = reshape(mat_prod, m1, n1, m1, n1)
   temp = transpose(mat_prod_reshaped, (0, 2, 1, 3))  # 调整为(m1, m1, n1, n1)
   D = temp * C
   

这种方法通过矩阵乘法一次性完成跨n2、n3维度的求和，后续仅需调整维度即可与C相乘，内存占用远低于原实现。

两种方案都无需循环，内存效率和计算速度均远超原代码，可根据使用的框架选择适配方式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rain