autoplot(ggplot)从prcomp获取得分与载荷的原理及手动实现方法

要理解autoplot（来自ggfortify包）如何关联样本得分与载荷向量，核心是它对载荷做了匹配得分尺度的缩放，有时还会对得分和载荷做标准化处理。下面一步步拆解逻辑并实现自定义绘图：

1. 明确prcomp的核心输出 #

prcomp返回的对象包含三个关键部分：

• m1$x：样本得分矩阵（标准化后的原始数据 × 旋转矩阵，范围约-2.5到3）
• m1$rotation：载荷矩阵（变量在主成分上的权重，范围约-1到1）
• m1$sdev：各主成分的标准差（反映该PC的方差大小）

2. 还原autoplot的载荷缩放逻辑 #

autoplot默认会做以下两步转换（对应scale.axes = TRUE）：

1. 先将载荷矩阵乘以对应PC的标准差，让载荷的尺度与得分匹配
2. 对得分和载荷矩阵分别做标准化（scale()），使每个PC的均值为0、标准差为1

如果要完全复刻autoplot的效果，按以下步骤生成数据：

d <- iris
m1 <- prcomp(d[,1:4], scale=T)

# 处理样本得分：标准化（和autoplot默认一致）
scaled_scores <- as.data.frame(scale(m1$x[,1:2]))

# 处理载荷：先乘PC标准差，再标准化
loadings_step1 <- m1$rotation[,1:2] %*% diag(m1$sdev[1:2])
scaled_loadings <- as.data.frame(scale(loadings_step1))
scaled_loadings$variable <- rownames(m1$rotation)

如果不需要标准化，只想让载荷和原始得分同尺度，简化为：

# 原始得分（不标准化）
scores <- as.data.frame(m1$x[,1:2])

# 载荷仅乘PC标准差
scaled_loadings <- as.data.frame(m1$rotation[,1:2] %*% diag(m1$sdev[1:2]))
scaled_loadings$variable <- rownames(m1$rotation)

3. 用ggplot2自定义绘图 #

以原始尺度的得分和载荷为例，绘制带载荷向量和标签的PCA图：

library(ggplot2)

ggplot() +
  # 绘制样本得分点
  geom_point(data = scores, aes(x = PC1, y = PC2), alpha = 0.7) +
  # 绘制载荷向量（从原点出发）
  geom_segment(data = scaled_loadings,
               aes(x = 0, y = 0, xend = PC1, yend = PC2),
               arrow = arrow(length = unit(0.2, "cm")),
               color = "#E64B35", linewidth = 1) +
  # 添加变量标签（稍微偏移避免和箭头重叠）
  geom_text(data = scaled_loadings,
            aes(x = PC1 * 1.1, y = PC2 * 1.1, label = variable),
            color = "#E64B35", fontface = "bold") +
  # 标注主成分解释率
  labs(x = paste0("PC1 (", round(m1$sdev[1]^2/sum(m1$sdev^2)*100, 1), "%)"),
       y = paste0("PC2 (", round(m1$sdev[2]^2/sum(m1$sdev^2)*100, 1), "%)")) +
  theme_minimal() +
  theme(panel.grid = element_blank())

关键说明 #

• 载荷向量的长度反映变量对主成分的贡献：向量越长，变量与该PC的相关性越强
• 乘PC标准差的目的是让载荷的尺度与得分对齐，这样在同一坐标系下，向量的相对长度更有意义
• 如果选择标准化得分和载荷，所有PC的方差会被统一为1，适合对比不同PCA模型的结果

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ryan Utz