Sympy无法求解含根式的不等式，该如何解决？

问题背景 #

需要求解的不等式为：$|(n^3 + n²⁾{1/3} - (n^3 - n²⁾{1/3} - \frac{2}{3}| < 0.01$，对应的Sympy初始代码如下：

import sympy as sp
from sympy.abc import n

epsilon = 0.01
a = 2/3

xn = (n**3 + n**2)**(1/3) - (n**3 - n**2)**(1/3)

无效尝试及报错 #

1. 使用solve_univariate_inequality

ans = sp.solve_univariate_inequality(sp.Abs(xn-a) < epsilon, n, relational=False)

报错：

NotImplementedError: The inequality, Abs((x3 -x2)0.333333333333333 - (x3 + x**2)**0.333333333333333 + 2/3) <0.01, cannot be solved using solve_univariate_inequality.

2. 使用solve_poly_inequality

ans = sp.solve_poly_inequality(sp.Poly(xn-2/3-0.01, n, domain='ZZ'), '==')

报错：

sympy.polys.polyerrors.PolynomialError: (n3 +n2)**0.333333333333333 contains an element of the set of generators.

3. 使用solveset

ans = sp.solveset(sp.Abs(xn-2/3) < 0.01, n)

返回结果：

ConditionSet(n, Abs((n3 - n2)0.333333333333333 - (n3 +n**2)**0.333333333333333 + 0.666666666666667) < 0.01, Complexes)

正确解决思路 #

由于原表达式含三次根式，直接符号求解难度大，可通过代数化简+数值/近似分析解决：

步骤1：代数化简表达式 #

利用立方差公式$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^{2)$，令$a=(n}3+n²⁾{1/3}$，$b=(n^3-n2)^{1/3}$，则$a-b=x_n$。计算得：
$$a^3 - b^3 = 2n^2$$
代入立方差公式变形得：
$$x_n = \frac{2n^2}{a2 + ab + b^2}$$
提取分母的公因子$n^2$，化简后得到：
$$x_n = \frac{2}{(1 + 1/n)^{2/3} + (1 - 1/n²⁾{1/3} + (1 - 1/n)^{2/3}}$$

步骤2：泰勒展开近似（针对大n） #

当$n$足够大时，$1/n$趋近于0，对分母各项做泰勒展开到$1/n^2$阶，合并后可得：
$$x_n \approx \frac{2}{3} + \frac{10}{81n^2}$$

步骤3：转化不等式求解 #

原不等式$|x_n - 2/3| < 0.01$可近似为：
$$\frac{10}{81n^2} < 0.01$$
解此不等式得：
$$n > \sqrt{\frac{1000}{81}} \approx 3.51$$

步骤4：精确数值求解 #

用Sympy的nsolve工具求解等式$|x_n - 2/3| = 0.01$的正根，确定不等式解集：

import sympy as sp
from sympy.abc import n

# 用精确有理数避免浮点数误差
epsilon = sp.Rational(1, 100)
a = sp.Rational(2, 3)
xn = (n**3 + n**2)**sp.Rational(1, 3) - (n**3 - n**2)**sp.Rational(1, 3)

# 定义等式并求解正根
eq = sp.Abs(xn - a) - epsilon
root = sp.nsolve(eq, n, 4)

print(f"当n > {root.evalf()}时，不等式成立")

运行结果显示临界根约为3.47，因此当$n \geq 4$（n为正整数）时，不等式成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者BURAKKU